Question

【題目】如圖，在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，以O為圓心的圓過點C，且與OA交于點E，與OB交于點F，連接CE，CF．
（1）求證：AB與⊙O相切．
（2）若∠AOB=∠ECF，試判斷四邊形OECF的形狀，并說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）證明：連接OC，

∵在△ABO中，OA=OB，C是邊AB的中點，

∴OC⊥AB，

∵OC為半徑，

∴AB與⊙O相切；

（2）解：四邊形OECF的形狀是菱形，

理由是：

如圖，取圓周角∠M，

則∠M+∠ECF=180°，

由圓周角定理得：∠EOF=2∠M，

∵∠ECF=∠EOF，

∴∠ECF=2∠M，

∴3∠M=180°，

∠M=60°，

∴∠EOF=∠ECF=120°，

∵OA=OB，

∴∠A=∠B=30°，

∴∠EOC=90°﹣30°=60°，

∵OE=OC，

∴△OEC是等邊三角形，

∴EC=OE，

同理OF=FC，

即OE=EC=FC=OF，

∴四邊形OECF是菱形．

【解析】（1）連接OC，根據三線合一得出OC⊥AB，根據切線判定推出即可；（2）取圓周角∠M，根據圓周角定理和圓內接四邊形性質得出∠M+∠ECF=180°，∠EOF=2∠M，推出∠ECF=2∠M，求出∠M，求出∠EOF，得出等邊三角形OEC，推出OE=EC，同理得出OF=FC，推出OE=OF=FC=EC，根據菱形判定推出即可．
【考點精析】利用切線的判定定理對題目進行判斷即可得到答案，需要熟知切線的判定方法：經過半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．