Question

如圖，平行四邊形ABCD中，EF過AC的中點O，與邊AD、BC分別相交于點E、F；
（1）試說明四邊形AECF是平行四邊形．
（2）若EF過AC的中點，且與AC垂直時，試說明四邊形AECF是菱形．
（3）當EF與AC有怎樣的關系時，四邊形AECF是矩形．

Answer 1

分析：（1）根據平行四邊形得出AD∥BC，突出△AEO∽△CFO，推出

OE

OF

=

OA

OC

，求出OE=OF即可；
（2）根據對角線互相垂直的平行四邊形是菱形推出即可；
（3）根據對角線相等的平行四邊形是矩形推出即可．

解答：（1）證明：∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴△AEO∽△CFO，
∴

OE

OF

=

OA

OC

，
∵OA=CO，
∴OE=OF，
∴四邊形AECF是平行四邊形；

（2）證明：∵四邊形AECF是平行四邊形，
又∵EF⊥AC，
∴平行四邊形AECF是菱形；

（3）解：當EF=AC時，四邊形AECF是矩形，
理由是：由（1）知：四邊形AECF是平行四邊形，
∵AC=EF，
∴平行四邊形AECF是矩形．

點評：本題考查了平行四邊形、矩形、菱形的判定，相似三角形的性質和判定，平行四邊形的性質的應用，本題題型較好，是一道具有一定代表性的題目．