Question

若x，y，z滿足（x-y）²+（z-y）²+2y²-2（x+z）y+2xz=0，且x，y，z是周長為48的一個三角形的三條邊長，求y的長．

Answer 1

分析：將已知等式左邊第四項去括號后結合，提取公因式變形后，再利用完全平方公式化簡，得到底數為0，得到x+z=2y，由周長為48得到x+y+z=48，將x+z=2y代入即可求出y的值．

解答：解：∵（x-y）²+（z-y）²+2y²-2（x+z）y+2xz
=（x-y）²+（z-y）²+2y²-2xy-2yz+2xz
=（x-y）²+（z-y）²+2y（y-x）-2z（y-x）
=（x-y）²+（z-y）²+2（y-x）（y-z）=0，
=[（x-y）+（z-y）]²=0，即x-y+z-y=0，
∴x+z=2y，
又∵x+y+z=48，
∴2y+y=48，即3y=48，
則y=16．

點評：此題考查了因式分解的應用，涉及的知識有：完全平方公式，去括號法則，以及合并同類項法則，熟練掌握公式及法則是解本題的關鍵．