Question

【題目】如圖，在菱形ABCD中，對角線AC、BD相交于點O且AC、BD的長（）是方程的兩個根.點P從點A出發，以每秒1個單位的速度沿邊A→O→B→A的方向運動，運動時間為t（秒）.

（1）求AC和BD的長；

（2）求當AP恰好平分時，點P運動時間t的值；

（3）在運動過程中，是否存在點P，使是等腰三角形？若存在，請求出運動時間t的值：若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（1），；（2）秒；（3）存在，綜上：18秒或16.8秒或12秒或.

【解析】

(1)解方程得兩根為12和16，所以，；

(2)設點運動秒時，平分，如圖，過點Ｐ作于Q，利用角平分線定理把已知和未知線段都歸結到直角中，利用勾股定理構造方程，可求得的值；

(3)分別以AO為腰，A為頂點；AO為腰，O為頂點；AO為底構造等腰三角形，畫圖，通過計算可求得答案.

(1)方程 可化成

∴

∵

故，；

(2)設點運動秒時，平分，

如圖，過點Ｐ作于Q，

∵，，四邊形ABCD是菱形，

∴，，

在直角中，∵，，∴；

∵平分，，，

∴,

，

，

為直角三角形，

即：，化簡并求得：.

故答案是：秒.

(3)存在.

以為腰，為頂點的等腰三角形，如圖：

∵

∴；

以為腰，為頂點的等腰三角形，如圖：

作于E，

在Rt和Rt中：

公共，∴RtRt

，即，∴,

∵, ∴

∴；

∵,

∴；

以AO為底的等腰三角形，如圖：

過作于，

，∴點F為AO中點，

四邊形ABCD為菱形，∴，

又，∴,

是AB中點，,

∴；

綜上：18秒或16.8秒或12秒或.