Question

【題目】如圖，在菱形中，，點是邊的中點，點是邊上一動點（不與點重合），延長交射線于點，連拉.

（1）求證：四邊形是平行四邊形。

（2）填空：

①當的值為_______________時，四邊形是矩形；

②當的值為_______________時，四邊形是菱形.

Answer 1

【答案】（1）見解析；（2）①10；②20

【解析】

（1）利用菱形的性質和已知條件可證明四邊形AMDN的對邊平行且相等即可；

（2）①由（1）可知四邊形AMDN是平行四邊形，利用有一個角為直角的平行四邊形為矩形即∠DMA=90°，所以AM=AD=1時即可；

②當平行四邊形AMND的鄰邊AM=DM時，四邊形為菱形，利用已知條件再證明三角形AMD是等邊三角形即可．

（1）證明：∵四邊形ABCD是菱形，

∴ND∥AM，

∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，

又∵點E是AD邊的中點，

∴DE=AE，

∴△NDE≌△MAE，

∴ND=MA，

∴四邊形AMDN是平行四邊形；

（2）解：①當AM的值為1時，四邊形AMDN是矩形．理由如下：

∵四邊形ABCD是菱形，

∴AB=AD=2．

∵AM=AD=1，

∴∠ADM=30°

∵∠DAM=60°，

∴∠AMD=90°，

∴平行四邊形AMDN是矩形；

②當AM的值為2時，四邊形AMDN是菱形．理由如下：

∵AM=2，

∴AM=AD=2，

∴△AMD是等邊三角形，

∴AM=DM，

∴平行四邊形AMDN是菱形，