Question

如圖，在△ABC中，AB=AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，交AB于點E．
（1）求證：△ABD是等腰三角形；
（2）若∠A=40°，求∠DBC的度數；
（3）若AE=6，△CBD的周長為20，求△ABC的周長．

Answer 1

分析：（1）根據線段的垂直平分線到線段兩端點的距離相等即可得證；
（2）首先利用三角形內角和求得∠ABC的度數，然后減去∠ABD的度數即可得到答案；
（3）將△ABC的周長轉化為AB+AC+BC的長即可求得．

解答：解：（1）證明：∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，
∴DB=DA，
∴△ABD是等腰三角形；
（2）∵△ABD是等腰三角形，∠A=40°，
∴∠ABD=∠A=40°，∠ABC=∠C=（180°-40°）÷2=70°
∴∠BDC=∠ABC-∠ABD=70°-40°=30°；
（3）∵AB的垂直平分線MN交AC于點D，AE=6，
∴AB=2AD=12，
∵△CBD的周長為20，
∴AC+BC=20，
∴△ABC的周長=AB+AC+BC=12+20=32．

點評：本題考查了線段的垂直平分線的性質及等腰三角形的判定與性質，相對比較簡單，屬于基礎題．