Question

正方形ABCD的邊長為8，正方形EFGH的邊長為3，正方形EFGH可在線段AD上滑動．EC交AD于點M．設AF=x，FM=y，△ECG的面積為s．
（1）求y與x之間的關系；
（2）求s與x之間的關系；
（3）求s的最大值和最小值；
（4）若放寬限制條件，使線段FG可在射線AD上滑動，直接寫出s與x之間的關系．

Answer 1

【答案】分析：（1）先證明△EFM∽△CDM，根據相似三角形對應邊的比相等得到=，即，進而得出y=-x+；
（2）先表示出MG=3-y，再由△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積即可得出s=x+；
（3）先求出自變量x的取值范圍是0≤x≤5，再根據一次函數的性質即可求出s的最大值為12，最小值為；
（4）由于EC交線段AD于點M，線段FG可在射線AD上滑動，得出0≤x＜8，畫出5＜x＜8時的圖形，根據△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積即可得出s=x+．
解答：解：（1）∵EF⊥AD，CD⊥AD，∴EF∥CD，
∴△EFM∽△CDM，∴=，
∴=，即，
∴y=-x+；

（2）∵FG=3，FM=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積，
∴s=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+；

（3）∵正方形EFGH在線段AD上滑動，AD=8，FG=3，
∴0≤x≤5．
∵s=x+，＞0，
∴s隨x的增大而增大，
∴當x=5時，s有最大值，最大值為×5+=12，
當x=0時，s有最小值，最小值為×0+=．
故s的最大值為12，最小值為；

（4）若線段FG在射線AD上滑動，則0≤x＜8．
①當0≤x≤5時，由（2）知s=x+；
②當5＜x＜8時，如圖．
∵FG=3，FM=y，
∴MG=FG-FM=3-y．
∵△ECG的面積=△EMG的面積+△CMG的面積，
∴s=MG•EF+MG•CD=×（3-y）×3+×（3-y）×8=×（3-y）×11，
∵y=-x+，
∴s=×（3+x-）×11=x+，
∴s=x+．
綜上可知，當線段FG在射線AD上滑動時，s=x+．
點評：本題考查了正方形的性質，相似三角形的判定與性質，三角形的面積，一次函數的性質，難度適中，根據相似三角形的判定與性質得到y與x之間的關系是解題的關鍵．