Question

【題目】如閣，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝3，BC＝4，點P從點A出發，沿折線AC﹣BC以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，當點P不與點A、B重合時，在邊AB上取一點Q，滿足∠PQA＝2∠B，過點Q作QM⊥PQ，交邊BC于點M，以PQ、QM為邊作矩形PQMN，設點P的運動時間為t秒

（1）用含t的代數式表示線段PQ的長；

（2）當矩形PQMN為正方形時，求t的值；

（3）設矩形PQMN與△ABC重疊部分圖形的周長為l，求l與t之間的函數關系式；

（4）作點A關于直線PQ的對稱點A′，作點C關于直線PN的對稱點C′，當點A′、C′這兩個點中只有一個點在矩形PQMN內部時，直接寫出此時的t取值范圍．

Answer 1

【答案】（1）或；（2）；（3）當時，重疊部分是四邊形PQMN，四邊形PQMN的周長．當時，重疊部分是，的周長．（4）或.

【解析】

分兩種情形分別求解即可解決問題．
如圖1中，當四邊形PQMN是正方形時，作于利用全等三角形的性質，構建方程即可解決問題如圖2中，四邊形PQMN不可能是正方形．
分兩種情形分別畫出圖象解決問題即可．
如圖5中，當點在線段MQ上時，作于求出t的值如圖6中，當點在MN上時，作于求出t的值，由此即可判定．

解：如圖1中當時，作于H．

，
，
，
，
，，
≌，
，，
在中，，，
，
，
，
，
，
如圖2中，當時，作，

，
，
，
，
，
，
，
，
，
．

如圖1中，當四邊形PQMN是正方形時，作于K．
，
，
，，
≌，
，
，
，
如圖2中，四邊形PQMN不可能是正方形，
綜上所述，時，四邊形PQMN是正方形．

如圖3中，當時，重疊部分是四邊形PQMT．

由可知：，，，
由∽，可得，
，
，
由∽，
，
，
，
由∽，
，
，
，
四邊形PQMN的周長．
如圖4中，當時，重疊部分是，

由可知：，，，
的周長．

如圖5中，當點在線段MQ上時，作于K．

由可得：，
解得，
觀察圖象可知：當時，點這兩個點中只有一個點在矩形PQMN內部．

如圖6中，當點在MN上時，作于K．

由可得：，
解得，
觀察圖象可知：時，點這兩個點中只有一個點在矩形PQMN內部．
綜上所述，滿足條件的t的值為或．