Question

【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且n+1=1+Sn對一切正整數n恒成立．
（1）試求當a1為何值時，數列{an}是等比數列，并求出它的通項公式；
（2）在（1）的條件下，當n為何值時，數列 的前n項和Tn取得最大值．

Answer 1

【答案】
（1）解：由an+1=1+Sn得：當n≥2時，an=1+Sn﹣1，

兩式相減得：an+1=2an，

∵數列{an}是等比數列，∴a2=2a1，

又∵a2=1+S1=1+a1，解得：a1=1．

得： ；

（2）解： ，可知數列 是一個遞減數列，

∴ ，

由此可知當n=9時，數列 的前項和Tn取最大值．

【解析】（1）由已知數列遞推式可得an+1=2an ， 再由數列{an}是等比數列求得首項，并求出數列通項公式；（2）把數列{an}的通項公式代入數列 ，可得數列 是遞減數列，可知當n=9時，數列 的項為正數，n=10時，數列 的項為負數，則答案可求．