【題目】已知橢圓C： 
+ 
=1（a＞0，b＞0）的離心率為 
，右焦點為F，上頂點為A，且△AOF的面積為 
（O為坐標原點）．
（1）求橢圓C的方程；
（2）設P是橢圓C上的一點，過P的直線與以橢圓的短軸為直徑的圓切于第一象限內的一點M，證明：|PF|+|PM|為定值．
【答案】
（1）
解：由題意可知：橢圓的離心率e= 
= 
，則a= 
c，
由△AOF的面積為S= 
×b×c= ，則bc=1，
由a2=b2﹣c2，解得：a= ，b=c=1，
∴橢圓的標準方程為： 
；
（2）
證明：由（1）可知：F（1，0），以橢圓的短軸為直徑的圓的方程為x2+y2=1，
設P（ cosθ，sinθ），且cosθ＞0，則|PF|= 
= 
= ﹣cosθ，
由M是圓x2+y2=1的切點，則OM⊥PM，且丨OM丨=1，
則丨PM丨= 
= 
= 
=cosθ，
∴|PF|+|PM|= ﹣cosθ+cosθ= ，
∴|PF|+|PM|為定值．
【解析】（1）根據橢圓的離心率求得a= c，bc=1，及a2=b2﹣c2 ， 即可求得a和b的值，求得橢圓方程；（2）利用橢圓的參數方程，設P點坐標，利用兩點之間的距離公式，及勾股定理即可求得：|PF|+|PM|的值為定值．
課課優能力培優100分系列答案
優百分課時互動系列答案科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，直角△ABC中，∠BAC=90°，D在BC上，連接AD，作BF⊥AD分別交AD于E，AC于F． 
（1）如圖1，若BD=BA，求證：△ABE≌△DBE；
（2）如圖2，若BD=4DC，取AB的中點G，連接CG交AD于M， 求證：①GM=2MC；
②AG2=AFAC．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】如圖，AB是⊙O的直徑，點C在AB的延長線上，CD與⊙O相切于點D，CE⊥AD，交AD的延長線于點E．
（1）求證：∠BDC=∠A；
（2）若CE=2 
，DE=2，求AD的長，
（3）在（2）的條件下，求弧BD的長。
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】函數f（x）=Asin（ωx+φ）（ω＞0， 
）的部分圖象如圖所示，將函數f（x）的圖象向右平移 
個單位后得到函數g（x）的圖象，若函數g（x）在區間 
（ 
）上的值域為[﹣1，2]，則θ等于（ ） 
A.
B.
C.
D.
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知A是拋物線y2=4x上的一點，以點A和點B（2，0）為直徑的圓C交直線x=1于M，N兩點．直線l與AB平行，且直線l交拋物線于P，Q兩點． 
（Ⅰ）求線段MN的長；
（Ⅱ）若 
=﹣3，且直線PQ與圓C相交所得弦長與|MN|相等，求直線l的方程．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知數列{an}的前n項和為Sn ， 且n+1=1+Sn對一切正整數n恒成立．
（1）試求當a1為何值時，數列{an}是等比數列，并求出它的通項公式；
（2）在（1）的條件下，當n為何值時，數列 
的前n項和Tn取得最大值．
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科目：初中數學 來源： 題型：
【題目】已知函數f（x）=（x2﹣3）ex ， 設關于x的方程 
有n個不同的實數解，則n的所有可能的值為（ ）
A.3
B.1或3
C.4或6
D.3或4或6
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