Question

【題目】在正方形ABCD中，點E是射線BC上的點，直線AF與直線AB關于直線AE對稱，直線AF交射線CD于點F．

(1)如圖①，當點E是線段BC的中點時，求證：AF=AB+CF；

(2)如圖②，當∠BAE=30°時，求證：AF=2AB﹣2CF；

(3)如圖③，當∠BAE=60°時，(2)中的結論是否還成立？若不成立，請判斷AF與AB、CF之間的數量關系，并加以證明．

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2)證明見解析；(3)成立，理由見解析

【解析】

(1)由折疊的性質得出AG=AB，BE=GE，進而用HL判斷出Rt△EGF≌Rt△ECF，代換即可得出結論；
(2)利用含30°的直角三角形的性質即可證明；
(3)先判斷出△AIF為等邊三角形，得出AI=FI=AF，再代換即可得出結論．

(1)如圖，過點E作EG⊥AF于點G，連接EF．

由折疊性質知，△ABE≌△AGE，

∴AG=AB，BE=GE，

∵BE=CE，

∴GE=CE，

在Rt△EGF和Rt△ECF中，

，

∴Rt△EGF≌Rt△ECF，(HL)

∴FG=FC，

∵AF=AG+FG，

∴AF=AB+FC ；

(2)如圖，延長AF、BC交于點H．

在正方形ABCD中，

∠B =90°，

由折疊性質知，∠BAE=∠HAE=30°，

∴∠H=90°-∠BAE-∠HAE =30°，

Rt△ABH中，∠B =90°，∠H =30°，

∴AH=2AB，

同理：FH=2FC，

∵AF=AH﹣FH，

∴AF=2AB﹣2FC；

(3)由折疊知，∠BAE=∠FAE=60°，
∴∠DAE=∠DAF=30°，

又∵AD⊥IF，
∴△AIF為等邊三角形，
∴AF=AI=FI，
由(2)可得AE=2AB，
IE=2IC，
∵IC=FC-FI，
∴IC=FC-AF，
∴IE=2FC-2AF，
∵AI=AE-IE，
∴AF=2AB-(2FC-2AF)
=2FC-2AB．