Question

已知：在正方形ABCD中，點E是邊AB上點，點G在邊AD上，連接EG，EG=DG，作EF⊥EG，交邊BC于點F（圖1）．

（1）求證：AE+CF=EF；
（2）連接正方形ABCD的對角線AC，連接DF，線段AC與線段DF相交于點K（圖2），探究線段AE、AD、AK之間的數量關系，直接寫出你的結論；
（3）在（2）的條件下，連接線段DE與線段AC相交于點P，（圖3）若AK=8．△BEF的周長為24，求PK的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）連結DF，作DM⊥EF，垂足M．先利用AAS證明△DAE≌△DME，得出AE=ME，再利用HL證明Rt△DCF≌Rt△DMF，得出CF=MF，進而可證明AE+CF=EF；
（2）連接EK、ED．先由∠EAK=∠EDK=45°，得出A、E、K、D四點共圓，根據圓內接四邊形的對角互補得到∠EKD=90°，由勾股定理得出DK²=DE²=（AD²+AE²），再根據S_{四邊形AEKD}=S_△ADE+S_△KDE=S_△AEK+S_△KDA，由三角形的面積公式整理后可得出AE+AD=AK；
（3）先由△BEF的周長為24，結合（1）的結論求出正方形ABCD的邊長為12，則AC=12，再由（2）的結論得出AE=4．然后根據AE∥CD，得到△AEP∽△CDP，由相似三角形對應邊成比例得出==，求出CP=9，進而得到PK=CP-CK=5．
解答：（1）證明：連結DF，作DM⊥EF，垂足M．
∵DM⊥EF，GE⊥EF，
∴∠GEF=∠DMF=90°，
∴DM∥GE，
∴∠MDE=∠DEG，
∵DG=GE，
∴△GDE是等腰三角形，
∴∠GED=∠GDE，
∴∠GDE=∠EDM，
∵在△DAE和△DME中，
，
∴△DAE≌△DME（AAS），
∴DM=AD，AE=ME，
∵AD=CD，
∴DC=DM，
在Rt△DCF和Rt△DMF中，
，
∴Rt△DCF≌Rt△DMF（HL），
∴CF=MF，
∴AE+CF=EM+MF，
∵EM+MF=EF，
∴AE+CF=EF；

（2）解：連接EK、ED．
由（1）知，△DAE≌△DME，Rt△DCF≌Rt△DMF，
∴∠ADE=∠MDE=∠ADM，∠CDF=∠MDF=∠CDM，
∴∠EDF=∠EDM+∠MDF=∠ADM+∠CDM=∠ADC=45°，
∵∠EAK=45°，
∴∠EAK=∠EDK，
∴A、E、K、D四點共圓，
∴∠EAD+∠EKD=180°，
∴∠EKD=180°-∠EAD=90°，
∴∠EDK=45°，
∴△EDK是等腰直角三角形，DE²=2DK²，
∵S_{四邊形AEKD}=S_△ADE+S_△KDE=S_△AEK+S_△KDA，
∴AD•AE+DK•EK=AK•AE•sin∠EAK+AK•AD•sin∠DAK，
∴AD•AE+DK²=AK•AE×+AK•AD×，
∵DK²=DE²=（AD²+AE²），
∴AD•AE+（AD²+AE²）=AK•AE+AK•AD，
∴2AD•AE+AD²+AE²=AK•AE+AK•AD，
∴（AD+AE）²=AK（AD+AE），
∵AD+AE≠0，
∴AE+AD=AK；

（3）解：∵△BEF的周長為24，
∴BE+EF+BF=24，
由（1）知AE+CF=EF，
∴BE+AE+CF+BF=24，
∴AB+BC=24，
∴AB=BC=12，即正方形ABCD的邊長為12，
∴AC=AB=12．
由（2）知AE+AD=AK，
∵AK=8，
∴AE+AD=×8=16，CK=AC-AK=12-8=4，
∴AE=16-AD=4．
∵AE∥CD，
∴△AEP∽△CDP，
∴===，
∴CP=AC=×12=9，
∴PK=CP-CK=9-4=5．
點評：本題考查了全等三角形、相似三角形的判定與性質，四點共圓的條件，圓內接四邊形的性質，三角形的面積，勾股定理等知識，綜合性較強，難度較大．準確地作出輔助線是解題的關鍵．