Question

含30°角的直角三角板ABC中，∠A=30°，將其繞直角頂點(diǎn)C順時(shí)針旋轉(zhuǎn)α角（0°＜α＜120°且α≠90°），得到Rt△A'B'C，A'C邊與AB所在直線交于點(diǎn)D，過點(diǎn) D作DE∥A'B'交CB'邊于點(diǎn)E，連接BE。
（1）如圖1，當(dāng)A'B'邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，α=_____°；
（2）如圖2，在三角板旋轉(zhuǎn)的過程中，若∠CBD的度數(shù)是∠CBE度數(shù)的m倍，猜想m的值并證明你的結(jié)論；
（3）如圖2，設(shè)BC=1，AD=x，△BDE的面積為S，以點(diǎn)E為圓心，EB為半徑作⊙E，當(dāng)S=S_△ABC時(shí)，求AD的長(zhǎng)，并判斷此時(shí)直線A′C與⊙E的位置關(guān)系。

Answer 1

解：（1）當(dāng)A′B′邊經(jīng)過點(diǎn)B時(shí)，α=60°； （2）猜想：如圖2，點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，m=2； 證明：當(dāng)時(shí)，點(diǎn)D在AB邊上（如圖2）， ∵ DE∥A′B′， ∴， 由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)可知，CA=CA′，CB=CB′，∠ACD=∠BCE， ∴， ∴△CAD∽△CBE， ∴∠A =∠CBE=30°， ∵ 點(diǎn)D在AB邊上，∠CBD=60°， ∴， 即m=2； （3）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠A=30°，BC=1， ∴AB=2，， 由△CAD∽△CBE 得， ∵AD=x， ∴， 當(dāng)點(diǎn)D在AB邊上時(shí)，AD=x，，∠DBE=90°， 此時(shí)，， 當(dāng)S=時(shí)，， 整理，得， 解得，即AD=1， 此時(shí)D為AB中點(diǎn)，故∠DCB=60°，∠BCE=30°=∠CBE， ∴EC=EB， ∵， 點(diǎn)E在CB′邊上， ∴圓心E到A′C的距離EC等于⊙E的半徑EB， ∴直線A′C與⊙E相切。