Question

14．如圖，AB是⊙O的直徑，點F、C在⊙O上且$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，連接AC、AF，過點C作CD⊥AF交AF的延長線于點D．
（1）求證：CD是⊙O的切線；
（2）若$\widehat{AF}=\widehat{FC}$，CD=4，求⊙O的半徑．

Answer 1

分析 （1）連結OC，由F，C，B三等分半圓，根據圓周角定理得∠FAC=∠BAC，而∠OAC=∠OCA，則∠FAC=∠OCA，可判斷OC∥AF，由于CD⊥AF，所以OC⊥CD，然后根據切線的判定定理得到CD是⊙O的切線；
（2）連結BC，由AB為直徑得∠ACB=90°，由F，C，B三等分半圓得∠BOC=60°，則∠BAC=30°，所以∠DAC=30°，在Rt△ADC中，利用含30度的直角三角形三邊的關系得AC=2CD=8，在Rt△ACB中，根據勾股定理求得AB，進而求得⊙O的半徑．

解答 （1）證明：連結OC，如圖，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$，
∴∠FAC=∠BAC，
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
∴∠FAC=∠OCA，
∴OC∥AF，
∵CD⊥AF，
∴OC⊥CD，
∴CD是⊙O的切線；
（2）解：連結BC，如圖，
∵AB為直徑，
∴∠ACB=90°，
∵$\widehat{BC}=\widehat{CF}$=$\widehat{AF}$，
∴∠BOC=$\frac{1}{3}$×180°=60°，
∴∠BAC=30°，
∴∠DAC=30°，
在Rt△ADC中，CD=4，
∴AC=2CD=8，
在Rt△ACB中，BC²+AC²=AB²，
即8²+（$\frac{1}{2}$AB）²=AB²，
∴AB=$\frac{16\sqrt{3}}{3}$，
∴⊙O的半徑為$\frac{8\sqrt{3}}{3}$．

點評 本題考查了切線的判定定理：經過半徑的外端且垂直于這條半徑的直線是圓的切線．也考查了圓周角定理和含30度的直角三角形三邊的關系．