Question

某工廠投入生產一種機器的總成本為2000萬元．當該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺時，每臺成本y與生產數量x之間是一次函數關系，函數y與自變量x的部分對應值如下表：

x（單位：臺）	10	20	30
y（單位：萬元∕臺）	60	55	50

（1）求y與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（2）求該機器的生產數量；
（3）市場調查發現，這種機器每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間滿足如圖所示的函數關系．該廠生產這種機器后第一個月按同一售價共賣出這種機器25臺，請你求出該廠第一個月銷售這種機器的利潤．（注：利潤=售價-成本）

Answer 1

解：（1）設y與x之間的關系式為y=kx+b，由題意，得
，
解得：，
∴y=-x+65．
∵該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺，
∴10≤x≤70；

（2）由題意，得
xy=2000，
-x²+65x=2000，
-x²+130x-4000=0，
解得：x₁=50，x₂=80＞70（舍去）．
答：該機器的生產數量為50臺；

（3）設每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數關系式為z=ma+n，由函數圖象，得
，
解得：，
∴z=-a+90．
當z=25時，a=65．
當x=50時，y=40總利潤為：25（65-40）=625萬元．
答：該廠第一個月銷售這種機器的利潤為625萬元．
分析：（1）設y與x之間的關系式為y=kx+b，運用待定系數法就可以求出其關系式，由該機器生產數量至少為10臺，但不超過70臺就可以確定自變量的取值范圍；
（2）根據每臺的成本乘以生產數量等于總成本建立方程求出其解即可；
（3）設每月銷售量z（臺）與售價a（萬元∕臺）之間的函數關系式為z=ma+n，運用待定系數法求出其解析式，再將z=25代入解析式求出a的值，就可以求出每臺的利潤，從而求出總利潤．
點評：本題考查了待定系數法求一次函數的解析式的運用，一元二次方程的運用，銷售問題利潤=售價-進價的運用，解答時求出一次函數的解析式是關鍵．