Question

【題目】如圖，拋物線y＝a（x﹣）（x+3）交x軸于點A、B，交y軸于點C，tan∠CAO＝．

（1）求a值；

（2）點P為第一象限內拋物線上一點，點P的橫坐標為t，連接PA，PC，設△PAC的面積為S，求S與t之間的關系式；

（3）在（2）的條件下，點Q在第一象限內的拋物線上（點Q在點P的上方），過點P作PE⊥AB，垂足為E，點D在線段AQ上，點F在線段AO上連接ED、DF，DE交AP于點G，若∠QDF+∠QDE＝180°，∠DFA+∠AED＝90°，PG＝PE，PG：EF＝3：2，求點P的坐標．

Answer 1

【答案】（1）a＝﹣；（2）S＝t2+t；（3）點P（1，3）

【解析】

（1）由題意可求點A，點B坐標，由銳角三角函數可求點C坐標，代入解析式可求解a的值；

（2）點P(t，﹣t2﹣t+4)，由面積關系可求解；

（3）如圖3，延長AQ，EP交于點H，連接GF，由四點共圓可證點A，點D，點G，點F四點共圓，可得∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，設PG＝PE＝3a，EF＝2a，由勾股定理可求a＝，可求點P坐標，代入解析式可求解．

解：（1）∵拋物線y＝a(x﹣)(x+3)交x軸于點A、B，

∴0＝a(x﹣)(x+3)

∴x1＝，x2＝﹣3，

∴點A(﹣3，0)，點B(，0)，

∴AO＝3，

∵tan∠CAO＝＝，

∴CO＝4，

∴點C(0，4)

∴4＝a(0﹣)(0+3)，

∴a＝﹣

（2）∵y＝﹣(x﹣)(x+3)

∴y＝﹣x2﹣x+4，

∵點P的橫坐標為t，

∴點P(t，﹣t2﹣t+4)，

∴S＝ [4+(﹣t2﹣x+4)]t+×3×4﹣×(t+3)(﹣t2﹣t+4)＝t2+t；

（3）如圖3，延長AQ，EP交于點H，連接GF，

∵∠QDF+∠QDE＝180°，且∠QDE+∠ADE＝180°，

∴∠ADE＝∠QDF，

∴∠ADF＝∠QDE，

∵∠DFA+∠AED＝90°，∠AED+∠DEP＝90°，

∴∠AFD＝∠DEP，

∴∠HAE＝∠AHE，且HE⊥AE，

∴∠HAE＝∠AHE＝45°，

∴AE＝EH＝t+3，

∵PE＝PG，

∴∠PGE＝∠PEG，

∴∠PGE＝∠AFD＝∠AGD，

∴點A，點D，點G，點F四點共圓，

∴∠ADF＝∠AGF，∠QDE＝∠AFG，

∴∠AGF＝∠AFG，

∴AF＝AG，

設PG＝PE＝3a，EF＝2a，

∴AF＝t+3﹣2a＝AG，AP＝t+3﹣2a+3a＝t+3+a，

∵AP2＝PE2+AE2，

∴(t+3+a)2＝9a2+(t+3)2，

∴a＝，

∴3a＝

∴點P(t，)

∴＝﹣t2﹣t+4，

∴t＝1，t＝﹣3（不合題意舍去）

∴點P(1，3)