Question

如圖，在四邊形ABCD中，∠DAB=∠ABC=90°，CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，EF⊥AB于點F，EF交BD于點G，設AD=a，BC=b．
（1）求CD的長度（用a，b表示）；
（2）求EG的長度（用a，b表示）；
（3）試判斷EG與FG是否相等，并說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）由AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，根據切線的判定方法得到DA、BC為半圓O的切線，而CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，根據切線長定理得到DE=DA=a，CE=CB=b，即有CD=a+b；
（2）易得EG∥BC，根據平行線分線段成比例定理有EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），即可表示出EG=；
（3）由EG∥BC，根據平行線分線段成比例定理=，即=，由GF∥AD得到=，即=，則+=+=1，然后把EG=代入計算即可得到FG=，即可得到EG=FG．
解答：解：（1）∵AB為半圓的直徑，∠DAB=∠ABC=90°，
∴DA、BC為半圓O的切線，
又∵CD與以AB為直徑的半圓相切于點E，
∴DE=DA=a，CE=CB=b，
∴CD=a+b；
（2）∵EF⊥AB，
∴EG∥BC，
∴EG：BC=DE：DC，即EG：b=a：（a+b），
∴EG=；
（3）EG與FG相等．理由如下：
∵EG∥BC，
∴=，即=①，
又∵GF∥AD，
∴=，即=②，
①+②得+=+=1，
而EG=，
∴+=1，
∴FG=，
∴EG=FG．
點評：本題考查了圓的綜合題：過半徑的外端點與半徑垂直的直線是圓的切線；掌握圓的切線長定理；運用平行線分線段成比例定理進行線段之間的轉化．