Question

如圖，AC是⊙O的直徑，AD與⊙O相切于點A，四邊形ABCD是平行四邊形，AB交⊙O于點E．
（1）判斷直線BC與⊙O的位置關系，并說明理由；
（2）若⊙O的半徑為4，AB=10，求線段BE的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據平行四邊形性質求出∠BCA=∠DAC=90°，根據圓的切線的判定定理求出即可；
（2）根據勾股定理求出BC，根據切割線定理求出即可．
解答：解：（1）直線BC與⊙O相切．
理由是：∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∴∠BCA=∠DAC，
∵AD與⊙O相切于點A，AC是⊙O的直徑，
∴∠BCA=∠DAC=90°，
又∵AC是⊙O的直徑，∴BC與⊙O相切． 

（2）方法①：連接CE，
∵AC是⊙O的直徑，
∴∠AEC=90°，
∵⊙O 的半徑為4，
∴AC=8，
又∵∠BCA=∠CEA=90°，∠BAC=∠CAE，
∴△BAC∽△CAE，
∴=，
即 =，
∴AE=，
∴BE=AB-AE=．
方法②：由勾股定理得：BC=6，
∵BC是圓的切線，BEA是圓的割線，
由切割線定理得：BC²=BE•BA，
代入求出BE=．
答：BE的長是．
點評：本題主要考查對切割線定理，勾股定理，切線的性質和判定，相似三角形的性質和判定等知識點的理解和掌握，能綜合運用性質進行推理是解此題的關鍵．