Question

如圖，ABCD是一個邊長為1的正方形，U、V分別是AB、CD上的點，AV與DU相交于點P，BV與CU相交于點Q．求四邊形PUQV面積的最大值．

Answer 1

分析：連接UV，根據等底等高的三角形的面積相等，推出S_{四邊形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，再利用面積公式求出面積，進一步根據不等式的性質即可求出四邊形PUQV面積的最大值．

解答：解：連接UV，
∵正方形ABCD，
∴AB∥CD，
根據等底等高的三角形的面積相等得到：S_△APD=S_△UVP，S_△QUV=S_△BQC，
∴S_{四邊形PUQV}=S_△APD+S_△BQC，
過P做PE⊥AD于E，過Q做QF⊥BC于F，
設：PE=x，QF=y，
∴S_{四邊形PUQV}=

1

2

（x+y），
設AU=a，DV=b，
則

x

a

+

x

b

=DE+AE=1，
故x=

ab

a+b

，
同理y=

(1-a)(1-b)

(1-a)+(1-b)

=

(1-a)(1-b)

2-a-b

，
∴S_{四邊形PUQV}=

1

2

[

ab

a+b

+

(1-a)(1-b)

2-a-b

]，
=

(a+b)-(a2+b2)

2(a+b)(2-a-b)

=

2(a+b)-a2-b2-(a2+b2)

4(a+b)(2-a-b)

≤

2(a+b)-a2-b2-2ab

4(a+b)(2-a-b)

=

(a+b)(2-a-b)

4(a+b)(2-a-b)

=

1

4

（因為（a-b）²≥0）²+b，
等號當且僅當a=b時成立，
故四邊形PUQV面積最大值是

1

4

．

點評：本題主要考查了面積及等積變換，三角形的面積不等式的性質等知識點，解此題的關鍵是利用不等式的性質求最大值，此題難度較大．