Question

如圖所示：△ABC中，CA=CB，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)，∠A=

1

2

∠PDQ=α．
（1）如圖1，若點(diǎn)P、Q分別在AC、BC上，AD=BD，問：DP與DQ有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；
（2）如圖2，若點(diǎn)P在AC的延長線上，點(diǎn)Q在BC上，AD=BD，則DP與DQ有何數(shù)量關(guān)系？如圖3，若點(diǎn)P、Q分別在AC、CB的延長線上，AD=BD，則DP與DQ有何數(shù)量關(guān)系？請(qǐng)?jiān)趫D2或圖3中任選一個(gè)進(jìn)行證明；
（3）如圖4，若

AD

BD

=n，作∠PDQ=2a，使點(diǎn)P在AC上，點(diǎn)Q在BC的延長線上，完成圖4，判斷DP與DQ的數(shù)量關(guān)系，證明你的結(jié)論．

Answer 1

分析：（1）此題應(yīng)分兩種情況討論，
①DP⊥AC，DQ⊥BC，顯然此時(shí)△ADP≌△BDQ，得DP=DQ；
②DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直，那么需要通過構(gòu)造全等三角形來求解；仿照①的思路，可過D作AC、BC的垂線，設(shè)垂足為M、N，由①知DM=DN，然后通過證△DMP≌△DNQ來得到DP=DQ的結(jié)論．
（2）圖2、圖3的證法與（1）②的思路完全一樣，都需要過D作AC、BC的垂線，通過構(gòu)造的全等三角形來得到DP、DQ的數(shù)量關(guān)系．
（3）此題依然要沿用前面兩問的思路；過D作AC、BC的垂線，DM、DN；然后通過兩步相似來求解，首先通過△ADM∽△BDN來得到DM、DN的比例關(guān)系，然后通過△DMP∽△DNQ來得到DP、DQ的數(shù)量關(guān)系．

解答：解：（1）分兩種情況：
①當(dāng)DP⊥AC，DQ⊥BC時(shí)，
∵∠A=∠B，∠APD=∠BQD=90°，AD=BD，
∴△ADP≌△BDQ，∴DP=DQ；
②當(dāng)DP、AC不垂直，DQ、BC不垂直時(shí)；
如圖1，過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，由①可得DM=DN；
在四邊形CMDN中，∠DMC=∠DNC=90°，∴∠MDN+∠MCN=180°；
又∵∠MCN+2∠A=180°，∴∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠PDM=∠QDN=2α-∠MDQ，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
綜合上面兩種情況，得：當(dāng)點(diǎn)P、Q分別在AC、BC上，且AD=BD時(shí)，DP、DQ的數(shù)量關(guān)系為：相等．

（2）圖2、圖3的結(jié)論與圖1的完全相同，證法一致；以圖2為例進(jìn)行說明：
圖2中，過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N，則DM=DN；
同（1）可得：∠MDN=∠PDQ=2α，則∠PDM=∠QDN=2α-∠PDN，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，DM=DN，
∴△DMP≌△DNQ，得DP=DQ；
圖3的證法同上；
所以在圖2、圖3中，（1）的結(jié)論依然成立，即DP、DQ的數(shù)量關(guān)系為：相等．

（3）DP、DQ的數(shù)量關(guān)系為：DP=nDQ，理由如下：
如圖4，過D作DM⊥AC于M，DN⊥BC于N；
∵∠A=∠B，∠AMD=∠BND=90°，
∴△ADM∽△BDN，
∴

AD

BD

=

DM

DN

=n，即AD=nBD；
同上可得：∠MDN=∠PDQ=2∠A=2α；
∴∠MDP=∠NDQ=2α+∠NDP，
又∵∠DMP=∠DNQ=90°，
∴△DMP∽△DNQ，得：

DM

DN

=

DP

DQ

=n，即DP=nDQ；
所以在（3）題的條件下，DP、DQ的數(shù)量關(guān)系為：DP=nDQ．

點(diǎn)評(píng)：此題主要考查的是全等三角形及相似三角形的判定和性質(zhì)，正確地構(gòu)造出與已知和所求相關(guān)的全等或相似三角形，是解答此題的關(guān)鍵．