Question

如圖，在△ABC中，∠C=90°，以BC上一點O為圓心，以OB為半徑的圓交AB于點M，交BC于點N．
（1）求證：BA•BM=BC•BN；
（2）如果CM是⊙O的切線，N為OC的中點，當AC=3時，求AB的值．

Answer 1

（1）證明：連接MN，
則∠BMN=90°=∠ACB，
∵∠ABC=∠ABC，
∴△ACB∽△NMB，
∴，
∴AB•BM=BC•BN；

（2）解：連接OM，則∠OMC=90°，
∵N為OC中點，
∴MN=ON=OM，
∴∠MON=60°，
∵OM=OB，
∴∠B=∠MON=30°，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2AC=2×3=6．
分析：（1）連接MN，構造一個直角三角形．即可把證明的線段放到兩個直角三角形中，根據相似三角形的判定和性質進行證明；
（2）連接OM，根據切線的性質得到直角△COM，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，得到MN等于圓的半徑，從而發現等邊三角形OMN，再根據圓周角定理得到∠B=30°，根據30°所對的直角邊是斜邊的一半即可求得AB的長．
點評：注意：連接直徑構造直角三角形，連接過切點的半徑都是圓中常見的輔助線．熟練運用直角三角形的性質能夠發現等邊三角形，進一步運用圓周角定理發現特殊的直角三角形．