Question

如圖，D是等邊△ABC的邊AB上的一個動點（D與A、B不重合），以CD為一邊向上作等邊△EDC，連接AE．
（1）說明四邊形ABCE是梯形；
（2）當D在AB邊上的什么位置時，四邊形ABCE是直角梯形（直接寫出結論）；
（3）在（2）的條件下，當AB=4時，求梯形的面積．

Answer 1

分析：（1）由三角形ABC與三角形DEC都為等邊三角形，根據等邊三角形的三邊相等，三角相等都為60°，得到AC=BC，CE=CD，∠ACB=∠DCE=60°，利用等式的性質得到∠ACE=∠BCD，利用SAS得出三角形ACE與三角形BCD全等，由全等三角形的對應角相等得到一對內錯角相等，利用內錯角相等兩直線平行得到AE與BC平行，而AB與EC不平行，可得出四邊形ABCE為梯形；
（2）當CD與AB垂直時，四邊形ABCE為直角梯形，當CD與AB垂直時，得到∠BDC為直角，由全等三角形的對應角相等得到∠AEC=∠BDC=90°，即可確定出梯形ABCE為直角梯形；
（3）在（2）條件下，四邊形ABCE為直角梯形，且∠AEC=90°，此時∠ACE為30°，由AB=AC=BC=4，在直角三角形ACE中，利用直角三角形中30°所對的直角邊等于斜邊的一半求出AE的長，再利用勾股定理求出EC的長，利用梯形的面積公式即可求出梯形ABCE的面積．

解答：解：（1）∵△ABC與△DEC都為等邊三角形，
∴AB=BC=AC，DE=EC=CD，∠ACB=∠DCE=60°，
∴∠DCE-∠ACD=∠ACB-∠ACD，即∠ACE=∠BCD，
在△ACE和△BCD中，

AC=BC ∠ACE=∠BCD CE=CD

，
∴△ACE≌△BCD（SAS），
∴∠CAE=∠B=60°，
∴AE∥BC，又AB與EC不平行，
∴四邊形ABCE為梯形；
（2）當CD⊥AB時，四邊形ABCE是直角梯形，理由為：
∵CD⊥AB，
∴∠BDC=90°，
∵△ACE≌△BCD，
∴∠AEC=90°，
∴四邊形ABCE為直角梯形；
（3）在（2）條件下，四邊形ABCE為直角梯形，
∴∠BCE=90°，又∠ACB=60°，
∴∠ACE=30°，
在Rt△ACE中，AC=AB=BC=4，∠ACE=30°，
∴AE=

1

2

AC=2，EC=

AC2-AE2

=2

3

，
則S_梯形ABCE=

1

2

（AE+BC）•EC=

1

2

×（2+4）×2

3

=6

3

．

點評：此題考查了等邊三角形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，含30°直角三角形的性質，以及勾股定理，熟練掌握判定與性質是解本題的關鍵．