Question

如圖，等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點E在邊AD上，G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點．
（1）如圖1，點E是邊AD上任意一點，請直接填寫四邊形EGFH是什么樣的特殊四邊形：

平行四邊形

．
（2）如圖2，當點E在什么位置時，四邊形EGFH是菱形？并加以證明．
（3）若（2）中的菱形EGFH是正方形，請?zhí)剿骶�段EF與線段BC的關系，并證明你的結論．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)三角形的中位線平行于第三邊可得GF∥EC，F(xiàn)H∥BE，然后根據(jù)平行四邊形的定義判定；
（2）當點E是AD的中點時，是菱形．根據(jù)等腰梯形同一底邊上的底角相等可得∠A=∠D，然后利用“邊角邊”證明證明△ABE和△DCE全等，再根據(jù)全等三角形對應邊相等可得BE=EC，從而得到EG=EH，然后根據(jù)鄰邊相等的平行四邊形是菱形即可得證；
（3）根據(jù)正方形的四條邊都相等可得EG=EH，四個角都是直角可得∠BEC=90°，再根據(jù)中點定義求出EB=EC，然后根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)解答．

解答：解：（1）∵G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點，
∴GF∥EC，F(xiàn)H∥BE，
∴四邊形EGFH是平行四邊形；

（2）當點E是AD的中點時，四邊形EGFH是菱形．
證明：∵G，F(xiàn)，H分別是BE，BC，CE的中點，
∴GF∥EH，GF=EH，
∴四邊形EGFH是平行四邊形，
∵四邊形ABCD是等腰梯形，
∴AB=DC，∠A=∠D，
在△ABE和△DCE中，

AB=DC ∠A=∠D AE=DE

，
∴△ABE≌△DCE（SAS），
∴BE=CE，
∵G，H分別是BE，CE的中點，
∴EG=EH，
∴四邊形EGFH是菱形；

（3）EF⊥BC，EF=

1

2

BC．
證明：∵四邊形EGFH是正方形，
∴EG=EH，∠BEC=90°，
∵G，H分別是BE，CE的中點，
∴EB=EC，
∵F是BC的中點，
∴EF⊥BC，EF=

1

2

BC．

點評：本題考查了等腰梯形的性質(zhì)，平行四邊形的判定，菱形的判定，正方形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，以及三角形的中位線定理，是綜合題，但難度不大，熟練掌握平行四邊形、菱形、正方形之間的關系是解題的關鍵．