Question

（2009•太原）如圖，A是∠MON邊OM上一點，AE∥ON．
（1）在圖中作∠MON的角平分線OB，交AE于點B；（要求：尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法和證明）
（2）在（1）中，過點A畫OB的垂線，垂足為點D，交ON于點C，連接CB，將圖形補充完整，并證明四邊形OABC是菱形．

Answer 1

【答案】分析：（1）角平分線的作法：用圓規以頂點為圓心，任意長為半徑畫一個弧（要保證有兩個交點，不要太小），再以剛才畫出的交點為頂點，以大于第一次的半徑為半徑畫弧（左右各畫一個弧），再取兩道弧的交點，并連接這個交點的一開始最上面的頂點，這就是角平分線．
（2）本題可根據“一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”，先證明OABC是個平行四邊形，然后證明OA=AB即可．
解答：解：（1）如圖，射線OB為所求作的圖形．

（2）證明：∵OB平分∠MON，
∴∠AOB=∠BOC．
∵AE∥ON，
∴∠ABO=∠BOC．
∴∠AOB=∠ABO，AO=AB．
∵AD⊥OB，
∴BD=OD．
在△ADB和△CDO中
∵
∴△ADB≌△CDO，AB=OC．
∵AB∥OC，
∴四邊形OABC是平行四邊形．
∵AO=AB，
∴四邊形OABC是菱形．
點評：本題考查尺規作圖、全等三角形的判定，性質及特殊四邊形的判定問題，解決本題的關鍵是熟悉基本作圖，熟悉特殊平行四邊形的判定方法．