Question

（2009•太原）如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，BC=4AD=，∠B=45度．直角三角板含45°角的頂點E在邊BC上移動，一直角邊始終經過點A，斜邊與CD交于點F．若△ABE為等腰三角形，則CF的長等于    ．

Answer 1

【答案】分析：首先理解題意，得出此題應該分三種情況進行分析，分別是AB=AE，AB=BE，AE=BE，從而得到最后答案．
解答：解：根據已知條件可得，作AM⊥BC，DN⊥BC，

∴BM=（BC-AD）÷2，
在直角三角形ABM中，cosB=，
則AB=（BC-AD）÷2÷cosB=3，
①當AB=AE（AE′）時，如圖，
∠B=45°，∠AE′B=45°，
∴AE′=AB=3，
則在Rt△ABE′中，BE′==3，
故E′C=4-3=．
易得△FE′C為等腰直角三角形，
故FC==2．

②當AB=BE″時，
∵AB=3，
∴BE″=3，
∵∠AE″B=∠BAE″=（180-45）÷2=67.5°，
∴∠FE″C=180°-45°-67.5°=67.5°，
∴∠CFE″=180°-∠C-∠FE″C=67.5°，
∵△E″CF為等腰三角形，
∴CF=CE″=CB-BE″=4-3；

③當AE=BE時，△ABE′和△CFE′是等腰Rt△，
∴BE′=，
∴CE′=
∴CF=FE′=．
故答案為：，2，4-3．

點評：本題要注意分析出現等腰三角形的情況．