Question

如圖，在平行四邊形ABCD中，AD=4 cm，∠A=60°，BD⊥AD． 一動點P從A出發(fā)，以每秒1 cm的速度沿A→B→C的路線勻速運動，過點P作直線PM，使PM⊥AD ．

（1）當(dāng)點P運動2秒時，設(shè)直線PM與AD相交于點E，求△APE的面積；

（2）當(dāng)點P運動2秒時，另一動點Q也從A出發(fā)沿A→B→C的路線運動，且在AB上以每秒1 cm的速度勻速運動，在BC上以每秒2 cm的速度勻速運動． 過Q作直線QN，使QN∥PM． 設(shè)點Q運動的時間為t秒（0≤t≤10），直線PM與QN截平行四邊形ABCD所得圖形的面積為S cm² ．

① 求S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式；

② 求S的最大值．

 

Answer 1

【答案】

（1）（2）①②

【解析】(1) 當(dāng)點P運動2秒時，AP=2 cm，由∠A=60°，知AE=1，PE=．

∴ S_ΔAPE=．                                  ……………………………4分

(2) ① 當(dāng)0≤t≤6時，點P與點Q都在AB上運動，設(shè)PM與AD交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，QF=，AP=t+2，AG=1+，PG=．

∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．……………………2分

當(dāng)6≤t≤8時，點P在BC上運動，點Q仍在AB上運動． 設(shè)PM與DC交于點G，QN與AD交于點F，則AQ=t，AF=，DF=4-，QF=，BP=t-6，CP=10-t，PG=，

而BD=，故此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．

……………………………2分

當(dāng)8≤t≤10時，點P和點Q都在BC上運動． 設(shè)PM與DC交于點G，QN與DC交于點F，則CQ=20-2t，QF=(20-2t)，CP=10-t，PG=．

∴ 此時兩平行線截平行四邊形ABCD的面積為S=．

……………………………2分

故S關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式為

②當(dāng)0≤t≤6時，S的最大值為；              …………………………1分

當(dāng)6≤t≤8時，S的最大值為；                …………………………1分

當(dāng)8≤t≤10時，S的最大值為；               …………………………1分

所以當(dāng)t=8時，S有最大值為 ．                …………………………1分

（1）在三角形AEP中，AP=2，∠A=60°，利用三角函數(shù)可求出AE和PE，即可求出面積；

（2）①此題應(yīng)分情況討論，因為兩個動點運動速度不同，所以有點P與點Q都在AB上運動、點P在BC上運動點Q仍在AB上運動、點P和點Q都在BC上運動三種情況，在每種情況下可利用三角函數(shù)分別求出我們所需要的值，進而求解．

②在①的基礎(chǔ)上，首先①求出函數(shù)關(guān)系式之后，根據(jù)t的取值范圍不同函數(shù)最大值也不同．