Question

如圖，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，直角∠EPF的頂點P是BC中點，兩邊PE、PF分別交AB、AC于點E、F，給出以下四個結論：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC；
④當∠EPF在△ABC內繞頂點P旋轉時（點E不與A、B重合） BE+CF=EF．
上述結論中始終正確的有（　　）

• A、1個
• B、2個
• C、3個
• D、4個

Answer 1

分析：利用旋轉的思想觀察全等三角形，尋找條件證明三角形全等．根據全等三角形的性質對題中的結論逐一判斷．

解答：解：∵∠APE、∠CPF都是∠APF的余角，
∴∠APE=∠CPF，
∵AB=AC，∠BAC=90°，P是BC中點，
∴AP=CP，
又∵AP=CP，∠EPA=∠FPC，∠EAP=∠FCP=45°
∴△APE≌△CPF（ASA），同理可證△APF≌△BPE，
∴AE=CF，△EPF是等腰直角三角形，S_{四邊形AEPF}=

1

2

S_△ABC，①②③正確；
故AE=FC，BE=AF，
∴AF+AE＞EF，
∴BE+CF＞EF，故④不成立．
始終正確的是①②③．故選C．

點評：此題主要考查了等腰三角形和直角三角形的性質，綜合利用了全等三角形的判定．