Question

如圖，在△ABC中，以AB為直徑的⊙O交AC于點M，弦MN∥BC交AB于點E，且ME=1，AM=2，AE=
（1）求證：BC是⊙O的切線；
（2）求的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）欲證明BC是⊙O的切線，只需證明OB⊥BC即可；
（2）首先，在Rt△AEM中，根據特殊角的三角函數值求得∠A=30°；
其次，利用圓心角、弧、弦間的關系、圓周角定理求得∠BON=2∠A=60°，由三角形函數的定義求得ON==；
最后，由弧長公式l=計算的長．
解答：（1）證明：如圖，
∵ME=1，AM=2，AE=，
∴ME²+AE²=AM²=4，
∴△AME是直角三角形，且∠AEM=90°．
又∵MN∥BC，
∴∠ABC=∠AEM=90°，即OB⊥BC．
又∵OB是⊙O的半徑，
∴BC是⊙O的切線；

（2）解：如圖，連接ON．
在Rt△AEM中，sinA==，
∴∠A=30°．
∵AB⊥MN，
∴=，EN=EM=1，
∴∠BON=2∠A=60°．
在Rt△OEN中，sin∠EON=，
∴ON==，
∴的長度是：•=．
點評：本題綜合考查了切線的判定與性質、勾股定理的逆定理，弧長的計算，解直角三角形等．要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點，連接圓心與這點（即為半徑），再證垂直即可．