Question

已知：如圖1．四邊形ABCD是菱形，AB=6，∠B=∠MAN=60°．繞頂點A逆時針旋轉∠MAN，邊AM與射線BC相交于點E（點E與點B不重合），邊AN與射線CD相交于點F．
（1）當點E在線段BC上時，求證：BE=CF；
（2）設BE=x，△ADF的面積為y．當點E在線段BC上時，求y與x之間的函數關系式，寫出函數的定義域；
（3）連接BD，如果以A、B、F、D為頂點的四邊形是平行四邊形，求線段BE的長．

Answer 1

分析：（1）連接AC，通過證明△ABE≌△ACF（ASA）即可得出BE=CF；
（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H，先根據勾股定理求出AH的長，又CF=BE=x，DF=6-x，根據三角形的面積公式即可列出函數關系式；
（3）根據題意畫出圖形，并連接BD，先根據四邊形BDFA是平行四邊形，證出∠BAE為直角，在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6，繼而即可求出BE的長．

解答：解：（1）連接AC（如圖1）．
由四邊形ABCD是菱形，∠B=60°，
易得：BA=BC，∠BAC=∠DAC=60°，∠ACB=∠ACD=60°．
∴△ABC是等邊三角形．
∴AB=AC．
又∵∠BAE+∠MAC=60°，∠CAF+∠MAC=60°，
∴∠BAE=∠CAF．
在△ABE和△ACF中，
∵∠BAE=∠CAF，AB=AC，∠B=∠ACF，
∴△ABE≌△ACF（ASA）．
∴BE=CF．

（2）過點A作AH⊥CD，垂足為H（如圖2）
在Rt△ADH中，∠D=60°，∠DAH=90°-60°=30°，
∴DH=

1

2

AD=

1

2

×6=3.AH=

AD2-DH2

=

62-32

=3

3

．
又CF=BE=x，DF=6-x，
∵S_△ADF=

1

2

DF•AH，
∴y=

1

2

×(6-x)×(3

3

)，
即y=-

3 3

2

x+9

3

（0＜x＜6）．

（3）①當點F在CD的延長線上時，
如圖3，連接BD，易得∠ADB=

1

2

∠ADC=30°．
當四邊形BDFA是平行四邊形時，AF∥BD．
∴∠FAD=∠ADB=30°．
∴∠DAE=60°-30°=30°，∠BAE=120°-30°=90°．
在Rt△ABE中，∠B=60°，∠BEA=30°，AB=6．
易得：BE=2AB=2×6=12；
②當點F與C重合時，此時點E與點B重合（不合題意舍去）．

點評：本題考查菱形的性質、全等三角形的判定與性質及平行四邊形的性質，是一道綜合題，有一定難度，關鍵是對這些知識的熟練掌握以便靈活運用．