Question

【題目】如圖，在正方形ABCD中，E是DC邊上一點，（與D、C不重合），連接AE，將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE，延長EF交BC于G，連接AG，作GH⊥AG，與AE的延長線交于點H，連接CH．顯然AE是∠DAF的平分線，EA是∠DEF的平分線．仔細觀察，請逐一找出圖中其他的角平分線（僅限于小于180°的角平分線），并說明理由．

Answer 1

【答案】AG是∠BAF的平分線，GA是∠BGF的平分線；CH是∠DCN的平分線；GH是∠EGM的平分線；理由見解析

【解析】

過點H作HN⊥BM于N，利用正方形的性質及軸對稱的性質，證明△ABG≌△AFG，可推出AG是∠BAF的平分線，GA是∠BGF的平分線；證明△ABG≌△GNH，推出HN=CN，得到∠DCH=∠NCH，推出CH是∠DCN的平分線；再證∠HGN=∠EGH，可知GH是∠EGM的平分線．

過點H作HN⊥BM于N，

則∠HNC＝90°，

∵四邊形ABCD為正方形，

∴AD＝AB＝BC，∠D＝∠DAB＝∠B＝∠DCB＝∠DCM＝90°，

①∵將△ADE沿AE所在的直線折疊得到△AFE，

∴△ADE≌△AFE，

∴∠D＝∠AFE＝∠AFG＝90°，AD＝AF，∠DAE＝∠FAE，

∴AF＝AB，

又∵AG＝AG，

∴Rt△ABG≌Rt△AFG（HL），

∴∠BAG＝∠FAG，∠AGB＝∠AGF，

∴AG是∠BAF的平分線，GA是∠BGF的平分線；

②由①知，∠DAE＝∠FAE，∠BAG＝∠FAG，

又∵∠BAD＝90°，

∴∠GAF+∠EAF＝×90°＝45°，

即∠GAH＝45°，

∵GH⊥AG，

∴∠GHA＝90°﹣∠GAH＝45°，

∴△AGH為等腰直角三角形，

∴AG＝GH，

∵∠AGB+∠BAG＝90°，∠AGB+∠HGN＝90°，

∴∠BAG＝∠NGH，

又∵∠B＝∠HNG＝90°，AG＝GH，

∴△ABG≌△GNH（AAS），

∴BG＝NH，AB＝GN，

∴BC＝GN，

∵BC﹣CG＝GN﹣CG，

∴BG＝CN，

∴CN＝HN，

∵∠DCM＝90°，

∴∠NCH＝∠NHC＝×90°＝45°，

∴∠DCH＝∠DCM﹣∠NCH＝45°，

∴∠DCH＝∠NCH，

∴CH是∠DCN的平分線；

③∵∠AGB+∠HGN＝90°，∠AGF+∠EGH＝90°，

由①知，∠AGB＝∠AGF，

∴∠HGN＝∠EGH，

∴GH是∠EGM的平分線；

綜上所述，AG是∠BAF的平分線，GA是∠BGF的平分線，CH是∠DCN的平分線，

GH是∠EGM的平分線．