Question

如圖1，已知拋物線經過坐標原點O和x軸上另一點E，頂點M的坐標為（2，4）；矩形ABCD的頂點A與點O重合，AD、AB分別在x軸、y軸上，且AD=2，AB=3．
（1）求該拋物線的函數解析式；
（2）將矩形ABCD以每秒1個單位長度的速度從圖1所示的位置沿x軸的正方向勻速平行移動，同時一動點P也以相同的速度從點A出發向B勻速移動，設它們運動的時間為t秒（0≤t≤3），直線AB與該拋物線的交點為N（如圖2所示）．
①當t=2秒時，判斷點P是否在直線ME上，并說明理由；
②設以P、N、C、D為頂點的多邊形面積為S，試問S是否存在最大值？若存在，求出這個最大值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）設出拋物線的頂點式y=a（x-2）²+4，將原點的坐標代入解析式就可以求出a的值，從而求出函數的解析式．
（2）①由（1）中拋物線的解析式可以求出E點的坐標，從而可以求出ME的解析式，再將P點的坐標代入直線的解析式就可以判斷P點是否在直線ME上．
②設出點N（t，-（t-2）²+4），可以表示出PN的值，根據梯形的面積公式可以表示出S與t的函數關系式，從而可以求出結論．
解答：解：（1）設拋物線的解析式為：y=a（x-2）²+4，則有
0=4a+4，
∴a=-1，
∴拋物線的解析式為：y=-（x-2）²+4；

（2）①∵y=-（x-2）²+4，
∴當y=0時，-（x-2）²+4=0，
∴x₁=0，x₂=4，
∴E（4，0），
設直線ME的解析式為：y=kx+b，則
，
解得：，
∴直線ME的解析式為：y=-2x+8，
∴當t=2時，P（2，2），
∴當x=2時，y=4=4，
∴當t=2時，點P不在直線ME上．

②設點N（t，-（t-2）²+4），則P（t，t），
∴PN=-t²+3t，
∵AD=2，AB=3
∴S==-t²+3t+3，
∴S=-（t²-3t+-）+3=-（t-）²+
∴當t=時，S的最大值是．
點評：此題主要考查了待定系數法求函數的解析式，二次函數的最值，三角形的面積公式的運用，梯形的面積公式的運用．根據幾何關系巧妙設點，把面積用t表示出來，轉化為函數最值問題是解題關鍵．