Question

當x為何有理數時，代數式9x²+23x-2的值恰為兩個連續正偶數的乘積？

Answer 1

解：設兩個偶數為2n，2n+2（n＞0），則9x²+23x-2=2n（2n+2），
即9x²+23x-2-2n（2n+2）=0．
x為有理數，則方程的△為完全平方數，
△=23²+4×9×[2+2n（2n+2））]=36（4n²+4n+1）+565=[6（2n+1）]²+565，
設△=m²（不妨設m≥0），
m²-[6（2n+1）]²=（m+12n+6）（m-12n-6）=565=565×1=113×5，
當m+12n+6=565時，m-12n-6=1解得m=283，n=23；
當m+12n+6=113時，有m-12n-6=5解得m=59，n=4；
當n=23時，9x²+23x-2=46×48，x=-17或x=；
當n=4時，9x²+23x-2=8×10，x=2或x=-．
分析：設兩個偶數為2n，2n+2（n＞0），則有9x²+23x-2=2n（2n+2），x為有理數，則方程的9x²+23x-2=2n（2n+2）的根的判別式△為完全平方數，設△=m²然后求得對應的m、n的值，再求得對應的x的值．
點評：本題通過設適當的參數，建立方程，利用方程的△為完全平方數討論求解．