Question

（2007•三明）如圖①，②，在平面直角坐標系xOy中，點A的坐標為（4，0），以點A為圓心，4為半徑的圓與x軸交于O，B兩點，OC為弦，∠AOC=60°，P是x軸上的一動點，連接CP．
（1）求∠OAC的度數；
（2）如圖①，當CP與⊙A相切時，求PO的長；
（3）如圖②，當點P在直徑OB上時，CP的延長線與⊙A相交于點Q，問PO為何值時，△OCQ是等腰三角形？

Answer 1

【答案】分析：（1）OA=AC首先三角形OAC是個等腰三角形，因為∠AOC=60°，三角形AOC是個等邊三角形，因此∠OAC=60°；
（2）如果PC與圓A相切，那么AC⊥PC，在直角三角形APC中，有∠PCA的度數，有A點的坐標也就有了AC的長，可根據余弦函數求出PA的長，然后由PO=PA-OA得出OP的值．
（3）本題分兩種情況：
①以O為頂點，OC，OQ為腰．那么可過C作x軸的垂線，交圓于Q，此時三角形OCQ就是此類情況所說的等腰三角形；那么此時PO可在直角三角形OCP中，根據∠COA的度數，和OC即半徑的長求出PO．
②以Q為頂點，QC，QD為腰，那么可做OC的垂直平分線交圓于Q，則這條線必過圓心，如果設垂直平分線交OC于D的話，可在直角三角形AOQ中根據∠QAE的度數和半徑的長求出Q的坐標；然后用待定系數法求出CQ所在直線的解析式，得出這條直線與x軸的交點，也就求出了PO的值．
解答：解：（1）∵∠AOC=60°，AO=AC，
∴△AOC是等邊三角形，
∴∠OAC=60°．

（2）∵CP與⊙A相切，
∴∠ACP=90°，
∴∠APC=90°-∠OAC=30°；
又∵A（4，0），
∴AC=AO=4，
∴PA=2AC=8，
∴PO=PA-OA=8-4=4．

（3）①過點C作CP₁⊥OB，垂足為P₁，延長CP₁交⊙A于Q₁；
∵OA是半徑，
∴，
∴OC=OQ₁，
∴△OCQ₁是等腰三角形；
又∵△AOC是等邊三角形，
∴P₁O=OA=2；
②過A作AD⊥OC，垂足為D，延長DA交⊙A于Q₂，CQ₂與x軸交于P₂；
∵A是圓心，
∴DQ₂是OC的垂直平分線，
∴CQ₂=OQ₂，
∴△OCQ₂是等腰三角形；
過點Q₂作Q₂E⊥x軸于E，
在Rt△AQ₂E中，
∵∠Q₂AE=∠OAD=∠OAC=30°，
∴Q₂E=AQ₂=2，AE=2，
∴點Q₂的坐標（4+，-2）；
在Rt△COP₁中，
∵P₁O=2，∠AOC=60°，
∴，
∴C點坐標（2，）；
設直線CQ₂的關系式為y=kx+b，則
，
解得，
∴y=-x+2+2；
當y=0時，x=2+2，
∴P₂O=2+2．
點評：本題綜合考查函數、圓的切線，等邊三角形的判定以及垂徑定理等知識點．要注意（3）中的等腰三角形要按頂點和腰的不同來分類討論．