Question

（2010•婁底）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F．
求證：（1）FC=AD；
（2）AB=BC+AD．

Answer 1

【答案】分析：（1）根據AD∥BC可知∠ADC=∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．
（2）根據線段垂直平分線的性質判斷出AB=BF即可．
解答：證明：（1）∵AD∥BC（已知），
∴∠ADC=∠ECF（兩直線平行，內錯角相等），
∵E是CD的中點（已知），
∴DE=EC（中點的定義）．
∵在△ADE與△FCE中，
，
∴△ADE≌△FCE（ASA），
∴FC=AD（全等三角形的性質）．

（2）∵△ADE≌△FCE，
∴AE=EF，AD=CF（全等三角形的對應邊相等），
∴BE是線段AF的垂直平分線，
∴AB=BF=BC+CF，
∵AD=CF（已證），
∴AB=BC+AD（等量代換）．
點評：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等．