Question

在平面直角坐標系xOy中：已知拋物線的對稱軸為x=，設拋物線與y軸交于A點，與x軸交于B、C兩點（B點在C點的左邊），銳角△ABC的高BE交AO于點H．
（1）求拋物線的解析式；
（2）在（1）中的拋物線上是否存在點P，使BP將△ABH的面積分成1：3兩部分？如果存在，求出P點的坐標；如果不存在，請說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）拋物線y=ax²+bx+c（a≠0）的對稱軸方程為：x=-，根據給出的拋物線對稱軸列出關于m的方程，即可確定函數解析式，然后根據題干條件“銳角△ABC”對m值進行甄別．
（2）首先根據題意畫出對應圖形，易發現△BHO∽△ACO，根據對應邊成比例能求出OH、AH的長；在△ABH中，以AH為底進行討論，若BP將△ABH分成1：3兩部分，那么直線BP必將線段AH分成1：3兩部分，首先求出直線BP的解析式，聯立拋物線的解析式即可求出對應的P點坐標．
解答：解：（1）由題意：x=-=-，
化簡，得：m²-m-2=0
解得：m₁=-1，m₂=2；
當m=-1時，函數解析式為：y=-x²-x+1（如右圖），其中△ABC不符合銳角三角形的特點，故m=-1舍去；
當m=2時，函數解析式為：y=-x²-x+6；
綜上，拋物線的解析式為：y=-x²-x+6．

（2）由（1）知：拋物線的解析式為：y=-x²-x+6（如右圖）；
令x=0，則y=6，即 A（0，6）；
令y=0，-x²-x+6=0，解得：x₁=3，x₂=-4；即 B（-4，0）、C（3，0）；
∠OAC=∠HBO=90°-∠ACO，又∠AEH=∠BOH=90°，
∴Rt△BOH∽Rt△AOC，
∴=，即 =，OH=2，AH=4；
在線段AH上取AM=HN=AH=1，則 M（0，5）、N（0，3）；
設直線BM的解析式為：y=kx+5，則有：-4k+5=0，k=；
∴直線BM：y=x+5．
同理，直線BN：y=x+3．
聯立直線BM和拋物線y=-x²-x+6，有：
，
解得：，
∴P₁（，）；
同理，求直線BN與拋物線的交點P₂（，）；
綜上，存在符合條件的P點，且坐標為：P₁（，）、P₂（，）．
點評：此題考查了函數解析式的確定、函數圖象交點坐標的解法、圖形面積的求法等知識；（2）題中，能夠將三角形的面積比轉換為底邊比是打開解題思路的關鍵所在．