Question

如圖半徑分別為m，n（0＜m＜n）的兩圓⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q兩點，且點P（4，1），兩圓同時與兩坐標軸相切，⊙O₁與x軸，y軸分別切于點M，點N，⊙O₂與x軸，y軸分別切于點R，點H．

（1）求兩圓的圓心O₁，O₂所在直線的解析式；
（2）求兩圓的圓心O₁，O₂之間的距離d；
（3）令四邊形PO₁QO₂的面積為S₁，四邊形RMO₁O₂的面積為S₂．
試探究：是否存在一條經過P，Q兩點、開口向下，且在x軸上截得的線段長為的拋物線？若存在，請求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知O₁（m，m），O₂（n，n），
設過點O₁，O₂的直線解析式為y=kx+b，則有：
（0＜m＜n），解得。
∴兩圓的圓心O₁，O₂所在直線的解析式為：y=x。
（2）由相交兩圓的性質，可知P、Q點關于O₁O₂對稱．
∵P（4，1），直線O₁O₂解析式為y=x，∴Q（1，4）。
如圖1，連接O₁Q， O₂Q。
∵Q（1，4），O₁（m，m），
∴根據勾股定理得到：。
又∵O₁Q為小圓半徑，即QO₁=m，
∴=m，化簡得：m²﹣10m+17="0" ①
同理可得：n²﹣10n+17="0" ②
由①，②式可知，m、n是一元二次方程x²﹣10x+17="0" ③的兩個根，
解③得：。
∵0＜m＜n，∴m=5－，n=5+。
∵O₁（m，m），O₂（n，n），
∴d=O₁O₂=。
（3）不存在。理由如下：
假設存在這樣的拋物線，其解析式為y=ax²+bx+c，
∵開口向下，∴a＜0。
如圖2，連接PQ。
由相交兩圓性質可知，PQ⊥O₁O₂。
∵P（4，1），Q（1，4），
∴。
又∵O₁O₂=8，∴。
又∵O₂R=5+，O₁M=5－，MR=，
∴
∴，即拋物線在x軸上截得的線段長為1。
∵拋物線過點P（4，1），Q（1，4），
∴，解得。
∴拋物線解析式為：y=ax²﹣（5a+1）x+5+4a，
令y=0，則有：ax²﹣（5a+1）x+5+4a=0，
設兩根為x₁，x₂，則有：x₁+x₂=，x₁x₂=。
∵在x軸上截得的線段長為1，即|x₁﹣x₂|=1，
∴（x₁﹣x₂）²=1，∴（x₁+x₂）²﹣4x₁x₂=1，即（）²﹣4（）=1，
化簡得：8a²﹣10a+1=0，解得a=。
可見a的兩個根均大于0，這與拋物線開口向下（即a＜0）矛盾。
∴不存在這樣的拋物線。

解析