Question

如圖半徑分別為m，n（0＜m＜n）的兩圓⊙O₁和⊙O₂相交于P，Q兩點，且點P（4，1），兩圓同時與兩坐標軸相切，⊙O₁與x軸，y軸分別切于點M，點N，⊙O₂與x軸，y軸分別切于點R，點H．
（1）求兩圓的圓心O₁，O₂所在直線的解析式；
（2）求兩圓的圓心O₁，O₂之間的距離d；
（3）令四邊形PO₁QO₂的面積為S₁，四邊形RMO₁O₂的面積為S₂．
試探究：是否存在一條經過P，Q兩點、開口向下，且在x軸上截得的線段長為
的拋物線？若存在，請求出此拋物線的解析式；若不存在，請說明理由．

Answer 1

解：（1）由題意可知 O1（m，m），O2（n，n）， 設過點O1，O2的直線解析式為y=kx+b， 則有：（0＜m＜n），解得， ∴所求直線的解析式為：y=x； （2）由相交兩圓的性質， 可知P、Q點關于O1O2對稱． ∵P（4，1），直線O1O2解析式為y=x， ∴Q（1，4）． 如解答圖1，連接O1Q． ∵Q（1，4），O1（m，m），根據兩點間距離公式得到： O1Q== 又O1Q為小圓半徑，即QO1=m， ∴=m， 化簡得：m2﹣10m+17=0 ① 如解答圖1，連接O2Q， 同理可得：n2﹣10n+17=0 ② 由①，②式可知，m、n是一元二次方程 x2﹣10x+17=0 ③的兩個根， 解③得：x=5±， ∵0＜m＜n， ∴m=5﹣，n=5+． ∵O1（m，m），O2（n，n）， ∴d=O1O2==8； （3）假設存在這樣的拋物線， 其解析式為y=ax2+bx+c， 因為開口向下，所以a＜0． 如解答圖2，連接PQ． 由相交兩圓性質可知，PQ⊥O1O2． ∵P（4，1），Q（1，4）， ∴PQ==， 又O1O2=8， ∴S1=PQO1O2=××8=； 又S2=（O2R+O1M）·MR=（n+m）（n﹣m）=； ∴==1， 即拋物線在x軸上截得的線段長為1． ∵拋物線過點P（4，1），Q（1，4）， ∴，解得， ∴拋物線解析式為：y=ax2﹣（5a+1）x+5+4a，令y=0，則有：ax2﹣（5a+1）x+5+4a=0， 設兩根為x1，x2， 則有：x1+x2=，x1x2=， ∵在x軸上截得的線段長為1，即|x1﹣x2|=1， ∴（x1﹣x2）2=1， ∴（x1+x2）2﹣4x1x2=1， 即（）2﹣4（）=1， 化簡得：8a2﹣10a+1=0， 解得a=，可見a的兩個根均大于0，這與拋物線開口向下（即a＜0）矛盾， ∴不存在這樣的拋物線．