Question

【題目】在△ABC中，∠BAC=45°，CD⊥AB，垂足為點D，M為線段DB上一動點（不包括端點），點N在直線AC左上方且∠NCM=135°，CN=CM，如圖①．

（1）求證：∠ACN=∠AMC；

（2）記△ANC得面積為5，記△ABC得面積為5．求證：；

（3）延長線段AB到點P，使BP=BM，如圖②．探究線段AC與線段DB滿足什么數量關系時對于滿足條件的任意點M，AN=CP始終成立？（寫出探究過程）

Answer 1

【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N，AN=CP始終成立，證明見解析．

【解析】

（1）由三角形的內角和定理可求∠ACN=∠AMC=135°-∠ACM；
（2）過點N作NE⊥AC于E，由“AAS”可證△NEC≌△CDM，可得NE=CD，由三角形面積公式可求解；
（3）過點N作NE⊥AC于E，由“SAS”可證△NEA≌△CDP，可得AN=CP．

（1）∵∠BAC=45°，

∴∠AMC=180°﹣45°﹣∠ACM=135°﹣∠ACM．

∵∠NCM=135°，

∴∠ACN=135°﹣∠ACM，∴∠ACN=∠AMC；

（2）過點N作NE⊥AC于E，

∵∠CEN=∠CDM=90°，∠ACN=∠AMC，CM=CN，

∴△NEC≌△CDM（AAS），

∴NE=CD，CE=DM；

∵S1ACNE，S2ABCD，

∴；

（3）當AC=2BD時，對于滿足條件的任意點N，AN=CP始終成立，

理由如下：過點N作NE⊥AC于E，

由（2）可得NE=CD，CE=DM．

∵AC=2BD，BP=BM，CE=DM，

∴AC﹣CE=BD+BD﹣DM，

∴AE=BD+BP=DP．

∵NE=CD，∠NEA=∠CDP=90°，AE=DP，

∴△NEA≌△CDP（SAS），

∴AN=PC．