Question

已知△ABC是等腰直角三角形，∠A=90°，D是腰AC上的一個動點，過C作CE垂直于BD或BD的延長線，垂足為E，如圖①．

（1）若BD是AC的中線，如圖②，求的值；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，如圖③，求的值；
（3）結合（1）、（2），請你推斷的值的取值范圍（直接寫出結論，不必證明），并探究的值能小于嗎？若能，求出滿足條件的D點的位置；若不能，請說明理由．

Answer 1

解：設AB=AC=1，CD=x，則0<x<1，BC=，AD=1﹣x，
在Rt△ABD中，BD²=AB²+AD²=1+（1﹣x）²=x²﹣2x+2，
由已知可得Rt△ABD∽Rt△ECD，
∴，
即，
從而，
∴，0<x<1，
（1）若BD是AC的中線，則CD=AD=x=，得；
（2）若BD是∠ABC的角平分線，則，
得，解得：，
∴；
（3）若，則有3x²﹣10x+6=0，
解得：∈（0，1），
∴，
表明隨著點D從A向C移動時，BD逐漸增大，而CE逐漸減小，的值則隨著D從A向C移動而逐漸增大。