Question

二次函數的圖像的頂點為，與軸交于點，以為邊在第二象限內作等邊三角形．

（1）求直線的表達式和點的坐標；

（2）點在第二象限，且△的面積等于△的面積，求點的坐標；

（3）以軸上的點為圓心，1為半徑的圓，與以點為圓心，的長為半徑的圓相切，直接寫出點的坐標．

 

Answer 1

【答案】

（1），（2）（3），，，

【解析】解：（1）二次函數的圖像的頂點，與軸的交點， （2分）

        設直線的表達式為，

可求得，．所以直線的表達式為．             （1分）

可得，∵，

∴．                                                       （1分）

在Rt△中，由勾股定理得：．

∴．點．                                            （1分）

解：（2）∵點、都在第二象限，且△的面積等于△的面積，

∴∥．                                                         （1分）

設直線的表達式為，點在直線上，

可得 ．

∴直線的表達式為．                                     （1分）

可得點的坐標：．                                           （1分）

解：（3）點的坐標，，，．

（1）已知拋物線的解析式，其頂點以及函數圖象與y軸交點坐標易求得．在求點C的坐標時，要把握住Rt△AOB的特殊性（含30°角），顯然，若△ABC是等邊三角形，那么AC與x軸垂直，無論通過勾股定理求邊長還是根據B點在AC的中垂線上，都能比較容易的求出點C的坐標．

（2）“M點在第二象限內”確定了點M的大致范圍，若“△ABM的面積等于△ABC的面積”，以AB為底邊進行分析，那么點C、點M到直線AB的距離是相同的，即CM∥AB，直線AB的解析式易求，兩直線平行則斜率相同，再代入點C的坐標就能通過待定系數法求出直線CM的解析式，然后代入點M的縱坐標即可得出結論．

（3）首先求出⊙C的半徑，即CM的長．若⊙C與⊙N相切，就要分兩種情況來考慮：①外切，CN長等于兩圓的半徑和；②內切，CN長等于兩圓的半徑差．

在明確CN長的情況下，在Rt△CAN中，通過勾股定理求出AN的長，進一步即可確定點N的坐標．