Question

【題目】某公司新研發一種辦公室用壁掛式電磁日歷，底板是一塊長方形磁塊，再用31枚圓柱形小鐵片標上數字吸附在底板上作為日期，如圖1是2007年10月份日歷

（1）用長方形和正方形分別圈出相鄰的3個數和9個數，若設圈出的數的中心數為a，用含a的整式表示這3個數的和與9個數的和，結果分別為　 　，　 　．

（2）用某種圖形圈出相鄰的5個數，使這5個數的和能表示成5a的形式，請在圖2中畫出一個這樣的圖形．

（3）用平行四邊形圈出相鄰的四個數，是否存在這樣的4個數使得a+b+c+d＝114？如果存在就求出來，不存在說明理由．

（4）第一次翻動31枚日歷鐵片，第二次翻動其中的30枚，第三次翻動其中的29枚，……，第31次只翻動其中的一枚，按這樣的方法翻動日歷鐵片，能否使鐵板上所有的31枚鐵片原來有數字的一面都朝下，試通過計算證明你的判斷．

Answer 1

【答案】（1）3a，9a；（2）見解析；（3）不存在，理由見解析；（4）不能，證明見解析

【解析】

（1）根據日歷的特點可列出關于a的方程，求解即可；

（2）根據上下左右的數量關系，畫圖即可；

（3）舉例拆分即可．

（4）根據數字的奇偶性規律驗證．

（1）長方形中中間數為a，上下兩數分別為（a﹣7）；（a+7）

∴3個數的和為a+（a﹣7）+（a+7）＝3a

正方形中中間數為a，那么左右兩數分別為（a﹣1）；（a+1）

根據以上規律左邊三個數的和為3（a﹣1）；中間三個數的和為3a；右邊三個數的和為3（a+1）

∴9個數的和為3（a﹣1）+3a+3（a+1）＝9a

故答案為：3a，9a．

（2）如圖所示即可

（3）不存在，

根據圖形的規律得，b=a+1,c=a+6,d=a+7，

∵a+b+c+d＝114，

∴a+a+1+a+6+a+7=114,

a=25,

∴d=a+25=32，

∴不存在這樣的4個數使得a+b+c+d＝114.

（4）不能，

共翻動了（次），

而要使一個鐵皮翻面，需要奇數次，

所有的31枚鐵片原來有數字的一面都朝下需要31 奇數次，

∵496不是奇數，

∴第一次翻動31枚日歷鐵片，第二次翻動其中的30枚，第三次翻動其中的29枚，……，第31次只翻動其中的一枚，按這樣的方法翻動日歷鐵片，不能使鐵板上所有的31枚鐵片原來有數字的一面都朝下.