Question

【題目】如圖，⊙O的直徑AB的長為10，弦AC長為6，∠ACB的平分線交⊙O于D．

（1）求BC的長．

（2）連接AD和BD，判斷△ABD的形狀，說明理由．并求BD的長．

（3）求CD的長．

Answer 1

【答案】（1）BC＝8；（2）△ABD為等腰直角三角形．理由見解析；BD＝5；（3）CD＝7．

【解析】

（1）根據圓周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理可計算出BC；

（2）根據圓周角定理得到∠ADB=90°，再根據角平分線定義得∠ACD=∠BCD，則AD=BD，于是可判斷△ABD為等腰直角三角形，然后根據等腰直角三角形的性質得到BD=.

（3）根據已知條件可證△BCH為等腰直角三角形，即可得CH的長度，后根據勾股定理可得DH 長度，即可求得CD長度.

（1）∵AB為⊙O的直徑，

∴∠ACB＝90°，

在Rt△ACB中，AB＝10，AC＝6，

∴BC＝＝8；

（2）△ABD為等腰直角三角形．理由如下：

∵AB為⊙O的直徑， ∴∠ADB＝90°，

∵∠ACB的平分線交⊙O于D，

∴∠ACD＝∠BCD， ∴AD＝BD，

∴△ABD為等腰直角三角形，

∴BD＝ AB＝5；

（3）作BH⊥CD于H，如圖，

∵∠BCH＝45°，

∴△BCH為等腰直角三角形，

∴BH＝CH＝BC＝4，

在Rt△BDH中，DH＝，

∴CD＝CH+DH＝4．