Question

如圖，半徑為2的⊙O內有互相垂直的兩條弦AB、CD相交于P點．
（1）求證：PA•PB=PC•PD；
（2）設BC的中點為F，連接FP并延長交AD于E，求證：EF⊥AD；
（3）若AB=8，CD=6，求OP的長．

Answer 1

【答案】分析：（1）求證PA•PB=PC•PD可以轉化為證明Rt△APD∽Rt△CPB；
（2）求證EF⊥AD，可以轉化為證明∠DPE+∠D=90°，從而轉化為證明∠A=∠DPE；
（3）作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，OP是矩形MONP的對角線，根據勾股定理就可以求出OP的長．
解答：（1）證明：∵∠A、∠C所對的圓弧相同，
∴∠A=∠C，
∴Rt△APD∽Rt△CPB，
∴，
∴PA•PB=PC•PD；（3分）

（2）證明：∵F為BC的中點，△BPC為直角三角形，
∴FP=FC，∴∠C=∠CPF．
又∠C=∠A，∠DPE=∠CPF，
∴∠A=∠DPE．
∵∠A+∠D=90°，
∴∠DPE+∠D=90°，
∴EF⊥AD；（7分）

（3）解：作OM⊥AB于M，ON⊥CD于N，連接PO，
∴OM²=（2）²-4²=4，ON²=（2）²-3²=11，
易證四邊形MONP是矩形，
∴OP=．      （7分）
點評：證明線段的積相等的問題可以轉化為證明三角形相似的問題．并且本題還考查了垂徑定理，以及勾股定理．