Question

如圖，在等腰梯形ABCD中，AD∥BC，點M，N分別是AD，BC的中點，點E，F分別是BM，CM的中點．                           

（1）求證：四邊形MENF是菱形；

（2）當四邊形MENF是正方形時，求證：等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半．

 

Answer 1

【答案】

（1）證明：∵四邊形ABCD為等腰梯形

        ∴AB=CD，∠A=∠D          

        ∵M為AD的中點                                  

      ∴AM=DM  

      ∴△ABM≌△DCM                                  

      ∴BM=CM                                

      ∵點E，F，N分別是BM，CM，BC的中點          

      ∴EN=CM，FN=BM，ME=BM，MF=CM        

      ∴EN=FN=FM=EM

      ∴四邊形MENF是菱形          

（2）     連結MN             

     

      ∵BM=CM，BN=CN

∴MN⊥BC

 ∵AD∥BC

∴MN⊥AD

∴MN是梯形ABCD的高         

又∵四邊形MENF是正方形

∴△BMC為直角三角形        

又∵N是BC的中點

∴MN=BC                   

即等腰梯形ABCD的高是底邊BC的一半

【解析】（1）根據等腰梯形的中位線的性質求出四邊形四邊相等即可；（2）利用等腰梯形的性質和正方形的性質解答．