Question

【題目】平面上，矩形ABCD與直徑為QP的半圓K如圖擺放，分別延長DA和QP交于點O，且∠DOQ＝60°，OQ＝OD＝3，OP＝2，OA＝AB＝1，讓線段OD及矩形ABCD位置固定，將線段OQ連帶著半圓K一起繞著點O按逆時針方向開始旋轉，設旋轉角為α(0°≤α≤60°)．

發現：

（1）當α＝0°，即初始位置時，點P 直線AB上(選填“在”或“不在”)．

當α= 時，OQ經過點B；

（2）在OQ旋轉過程中，α= 時，點P，A間的距離最小？PA最小值為 ；

（3）探究當半圓K與矩形ABCD的邊相切時，求sinα的值．

Answer 1

【答案】（1）在，15°；（2）60°，1；（3）或或．

【解析】

試題分析：（1）如圖1所示，過點P作PA′⊥OD，垂足為A′．在△A′OP中利用利用特殊銳角三角函數可求得OA′=1，由OA=1，從而可求得點A與點A′重合，根據過一點有且只有一條直線與已知直線垂直可知點P在AB上；如圖2所示：由△ABO為等腰直角三角形可知∠AOB=45°，從而可求得∠QOQ′=15°；

（2）（2）如圖2，連接AP，由OA+AP≥OP，當OP過點A，即α=60°時，等號成立，于是有AP≥OP-OA=2-1=1，當α=60°時，P、A之間的距離最小，即可求得結果；

（3）半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，于是得到∠KSO=∠KTB=90°，作KG⊥OO′于G，，在Rt△OSK中，求出OS==2，在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2- 3 在Rt△KGO′中，∠O′= =30°，求得KG= KO′=，在Rt△KGO中，求得結果；②當半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得sinα的值③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，得到α=60°于是結論可求．

試題解析：（1）在，

當OQ過點B時，在Rt△OAB中，AO=AB，

∴∠DOQ=∠ABO=45°，

∴α=60°﹣45°=15°；

（2）如圖2，連接AP，

∵OA+AP≥OP，

當OP過點A，即α=60°時，等號成立，

∴AP≥OP﹣OA=2﹣1=1，

∴當α=60°時，P、A之間的距離最小，

∴PA的最小值=1；

（3）半圓K與矩形ABCD的邊相切，分三種情況；

①如圖5，半圓K與BC相切于點T，設直線KT與AD，OQ的初始位置所在的直線分別交于點S，O′，

則∠KSO=∠KTB=90°，

作KG⊥OO′于G，在Rt△OSK中，

OS==2，

在Rt△OSO′中，SO′=OStan60°=2，KO′=2-，

在Rt△KGO′中，∠O′=30°，

∴KG=KO′=，

∴在Rt△OGK中，sinα=，

②當半圓K與AD相切于T，如圖6，同理可得

sinα=；

③當半圓K與CD切線時，點Q與點D重合，且為切點，=60°，

∴sinα=sin60°=，

綜上所述sinα的值為：或或．