Question

如圖所示，已知二次函數與坐標軸分別交于A、D、B三點，頂點為C。【原創】

（1）求tan∠BAC

（2）在y軸上是否存在一點P，使得△DOP與△ABC相似，如果存在，求出點P的坐標，如果不存在，說明理由。

 （3）Q是拋物線上一動點，使得以A、B、C、Q為端點的四邊形是一個梯形，請直接寫出滿足條件的Q點的坐標。（不要求寫出解題過程）

 

Answer 1

解：（1）把y=0代入，得。

解得

即A（3，0），D（-1，0）

把x=0代入，得y=3

∴B（0，3）

把x=1代入

y=4，即C（1，4）。

過點C作CE⊥y軸，垂足為E。

∵△AOB和△BCE都是等腰直角三角形

∴∠ABC=90°且BC=，AB=。

∴tan∠BAC=。。。。。4分

（2）①P在原點時，

∵PD=1，BP=3，∠BPD=∠ABC，且

即△DOP∽△ABC。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②當P在y軸負半軸時，設P（0，a）

由①知∠DBP=∠BAC。

∴只需∠BDP=Rt∠即可。

此時，易證△BDO∽△DOP

∴

∴OP=

∴P（0，）。。。。。。。。。。。。。。。。2分

②當P在y軸正半軸時，顯然△BDP不可能為Rt△。

∴所以滿足題意的P點為（0，0）或（0，）。

（3）（－2，－5），（4，－5），（2，3）