Question

已知，如圖，拋物線經過原點O和點B（m，-3），它的對稱軸x=-2與x軸交于點A，直線y=-2x+1與拋物線交于點B，且與y軸、直線x=-2分別交于點D、C．
（1）求m的值及拋物線的解析式；
（2）求證：①AC=AB，②BD=CD；
（3）除B點外，直線y=-2x+1與拋物線有無公共點？并說明理由；
（4）在拋物線上是否存在一點P，使得PB=PC？若存在，求出P點的坐標；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）根據拋物線的對稱軸為x=-2，且過O、A兩點，因此A點的坐標為（-2，0）．可用交點式二次函數通式來設拋物線的解析式，然后根據直線y=-2x+1求出B點的坐標，將B點的坐標代入拋物線中即可求出二次函數的解析式．
（2）①可根據拋物線的解析式求出B，C點的坐標，進而可求出△ACB三邊的長，可據此證明AC=AB，
②可過C、B作y軸的垂線通過證三角形全等來得出D是BC中點即可；
（3）由題意可知：P點必為線段BC垂直平分線與拋物線的交點，可先求出線段BC的垂直平分線，然后聯立拋物線的解析式，即可求出符合條件的P點的坐標．

解答：解：（1）∵點B（m，-3）在直線y=-2x+1上，
∴-3=-2×m+1，
∴m=2，
∴B（2，-3）
∵拋物線經過原點O和點M，對稱軸為x=-2，
∴點M坐標為（-4，0）
設所求的拋物線對應函數關系式為y=a（x-0）（x+4），將點B（2，-3）代入上式，
得-3=a（2-0）（2+4），
∴a=-

1

4

，
∴所求的拋物線對應的函數關系式為y=-

1

4

x（x+4），
即y=-

1

4

x²-x；

（2）①證明：∵直線y=-2x+1與y軸、直線x=-2的交點坐標分別為D（0，1），C（-2，5），
過點B作BG∥x軸，與y軸交于F、直線x=-2交于G，
∴BG⊥直線x=-2，BG=4、
在Rt△BGC中，AB=

AG2+BG2

=5，
∵AC=5，
∴AB=AC=5，
②證明：
過點C作CH∥x軸，交y軸于H，則點H的坐標為H（0，5），又點F、D的坐標為F（0，-3）、D（0，1），
∴FD=DH=4，BF=CH=2，∠BFD=∠CHD=90°
∴△DFB≌△CHD（SAS），
∴BD=CD；

（4）存在．
∵PB=PC，
∴點P在直線AD上，
∴符合條件的點P是直線AD與該拋物線的交點
設直線AD對應的函數關系式為y=kx+b，將D（0，1）A（-2，0）代入，
得

b=1 -2k+b=0

，
解得

k= 1 2 b=1

，
∴直線AD對應的函數關系式為y=

1

2

x+1，
∵動點P的坐標為（x，-

1

4

x²-x），
∴

1

2

x+1=-

1

4

x²-x
解得x₁=-3+

5

，x₂=-3-

5

，
∴y₁=

-1+ 5

2

，y₂=

-1- 5

2

，
∴符合條件的點P的坐標為（-3+

5

，

-1+ 5

2

-）或（-3-

5

，

-1- 5

2

）．

點評：本題著重考查了待定系數法求二次函數解析式、三角形全等、等腰三角形的判定和性質等重要知識點，綜合性強，考查學生數形結合的數學思想方法．