Question

在一個三角形中，如果一個角是另一個角的2倍，我們稱這種三角形為倍角三角形．如圖1，倍角△ABC中，∠A=2∠B，∠A、∠B、∠C的對邊分別記為a，b，c，倍角三角形的三邊a，b，c有什么關系呢？讓我們一起來探索．

（1）我們先從特殊的倍角三角形入手研究．請你結合圖形填空：

三三角形角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

（2）如圖4，對于一般的倍角△ABC，若∠CAB=2∠CBA，∠CAB、∠CBA、∠C的對邊分別記為a，b，c，a，b，c，三邊有什么關系呢？請你作出猜測，并結合圖4給出的輔助線提示加以證明；
（3）請你運用（2）中的結論解決下列問題：若一個倍角三角形的兩邊長為5，6，求第三邊長． （直接寫出結論即可）

Answer 1

解：（1）

三角形	角的已知量
圖2	∠A=2∠B=90°
圖3	∠A=2∠B=60°

；

（2）猜測a，b，c的關系是延長CA至D，使AD=AB（如圖4）；
∵AD=AB，∴∠D=∠ABD，
∴∠CAB=∠D+∠ABD=2∠D，
∵∠CAB=2∠CBA，
∴∠D=∠CBA，
又∵∠C=∠C，
∴△CBD∽△CAB，
∴即．

（3）①當a=5，b=6時，
由（2）得：，解得c=-（不合題意舍去）；
②當a=6，b=5時，
，解得c=；
③當a=5，c=6時，
，解得b=-3（負值舍去）；
④當a=6，c=5時，
，解得b=4（負值舍去）；
⑤當b=5，c=6時，
，解得a=（負值舍去）；
⑥當b=6，c=5時，
，解得a=（負值舍去）．
綜上可知：第三邊的長為或或或4或．
分析：（1）圖2的三角形，顯然是等腰直角三角形，可設斜邊c為2，那么a=b=，即可求得、的值，圖3的解法同上．
（2）由（1）的結論，可猜測a、b、c的等量關系應該是，可通過構造相似三角形來證明；延長CA至D，是得AD=AB；那么∠CAB=2∠A=2∠CBA，再加上公共角∠C，即可證得△CBD∽△CAB，由此得到所求的結論．
（3）將已知的邊長代入（2）的結論進行計算即可．
點評：此題主要考查的是相似三角形的判定和性質，要注意的是（3）題的情況較多，一定要分類討論，不要漏解．