Question

已知：t₁，t₂是方程t²+2t-24=0的兩個實數根，且t₁＜t₂，拋物線y=x²+bx+c的圖象經過點A（t₁，0），B（0，t₂）．
（1）求這個拋物線的解析式；
（2）設點P（x，y）是拋物線上一動點，且位于第三象限，四邊形OPAQ是以OA為對角線的平行四邊形，求平行四邊形OPAQ的面積S與x之間的函數關系式，并寫出自變量x的取值范圍；
（3）在（2）的條件下，當平行四邊形OPAQ的面積為24時，是否存在這樣的點P，使?OPAQ為正方形？若存在，求出P點坐標；若不存在，說明理由．

Answer 1

【答案】分析：（1）解方程t²+2t+24=0，可得A（-6，0），B（0，4），再利用待定系數法求二次函數的解析式；
（2）設點P（x，y），利用x，y表示四邊形的邊長求得面積S=-4（x+）²+25，利用面積是正數的性質求出x的取值范圍是-6＜x＜-1；
（3）把S=24代入解析式S=-4（x+）²+25中求得y的值，從而得到點P的坐標，根據實際意義進行值的取舍，討論可知不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形．
解答：解：
（1）t²+2t-24=0，（t+6）（t-4）=0，t₁=-6，t₂=4（1分）
∵t₁＜t₂，
∴A（-6，0），B（0，4）（2分）
∵拋物線y=x²+bx+c經過A，B兩點．
∴，
解得，
∴y=x²+x+4．（4分）

（2）∵點P（x，y）在拋物線上，位于第三象限，
∴y＜0，即-y＞0．
又∵S=2S_△APO=2××|OA|•|y|=|OA|•|y|=6|y|，
∴S=-6y（6分）
=-6（x²+x+4）
=-4（x²+7x+6）
=-4（x+）²+25（7分）
令y=0時，x²+x+4=0，
解得x₁=-6，x₂=-1．
∵拋物線與x軸的交點坐標為（-6，0），（-1，0），
∴x的取值范圍為-6＜x＜-1．（8分）

（3）當S=24時，得24=-4（x+）²+25，
解得：x₁=-3，x₂=-4（9分）
代入解析式得：y₁=-4，y₂=-4．
∴點P的坐標為（-3，-4），（-4，-4）
當點P為（-3，-4）時，滿足PO=PA，此時，平行四邊形OPAQ是菱形．
當點P為（-4，-4）時，不滿足PO=PA，此時，平行四邊形OPAQ不是菱形．（10分）
而要使平行四邊形OPAQ為正方形，那么，一定有OA⊥PQ，AO=PQ，
此時，點P的坐標為（-3，-3），而（-3，-3）不在拋物線y=x²+x+4上，
故不存在這樣的點P，使四邊形OPAQ為正方形．（12分）
點評：主要考查了二次函數的解析式的求法和與幾何圖形結合的綜合能力的培養．
要會利用數形結合的思想把代數和幾何圖形結合起來，利用點的坐標的意義表示線段的長度，從而求出線段之間的關系．