Question

【題目】如圖1，在平面直角坐標系中，直線與軸、軸分別交于、兩點，拋物線經過、兩點，與軸的另一個交點為．

（1）求拋物線的解析式及點坐標；

（2）若點M為x軸下方拋物線上一動點，連接MA、MB、BC，當點M運動到某一位置時，四邊形AMBC面積最大，求此時點M的坐標及四邊形AMBC的面積；

（3）如圖2，若點是半徑為2的⊙上一動點，連接、，當點運動到某一位置時，的值最小為_________．(直接寫出結果)

Answer 1

【答案】（1），B(5，0)；（2）M(3,-4)時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；（3）

【解析】

(1)由直線y=-5x+5求點A、C坐標，用待定系數法求拋物線解析式，進而求得點B坐標；
(2)從x軸把四邊形AMBC分成△ABC與△ABM；由點A、B、C坐標求ABC面積；設點M橫坐標為m，過點M作x軸的垂線段MH，則能用m表示MH的長，進而求△ABM的面積，得到△ABM面積與m的二次函數關系式，且對應的a值小于0，配方即求得m為何值時取得最大值，進而求點M坐標和四邊形AMBC的面積最大值；
(3)作點D坐標為(4,0)，可得BD=1，進而有，再加上公共角∠PBD=∠ABP，根據兩邊對應成比例且夾角相等可證△PBD∽△ABP，得等于相似比，進而得到PD=AP，所以當C、P、D在同一直線上時，PC+PA=PC+PD=CD最小，用兩點間的距離公式即可求出CD的長.

(1)直線y=-5x+5，x=0時，y=5，
∴C(0,5)，
當y=-5x+5=0時，解得x=1，
∴A(1,0)，
∵拋物線經過A，C兩點，
∴ ，解得，
∴拋物線解析式為，
當=0時，解得，，

∴B（5,0）；

（2）如圖1，過點M作MH⊥x軸于H，

∵ A(1,0)，B(5,0),C(0,5)，
∴AB=5-1=4，OC=5，
∴，
∵點M為x軸下方拋物線上的點
∴設M(m,m2-6m+5)(1<m<5)，
∴MH=|m2-6m+5|=-m2+6m-5，
∴，
∴S四邊形AMBC=S△ABC+S△ABM=，
∴當m=3，即M(3,-4)時，四邊形AMBC面積最大，最大面積等于18；

（3）如圖2，在x軸上取點D（4,0），連接PD、CD，

∴BD=5-4=1，

∵AB=4，BP=2，
∴，

∵∠PBD=∠ABP，
∴△PBD∽△ABP，
∴，
∴PD=AP，
∴PC+PA=PC+PD，
當點C.P、D在同一直線上時，PC+PA=PC+PD=CD最小，

∵，

∴PC+PA的最小值為，

故答案為：.